Zu a) Deine Beschreibung ist zwar nicht falsch aber in Teilen ohne den realistisch, physikalischen Gehalt, weshalb Du vielleicht auch das Intervall [0;1] ausgelassen hast. Was bedeutet es zum Beispiel, wenn die Geschwindigkeit zunimmt. Das Stichwort lautet dann "Beschleunigung/beschleunigte Bewegung" und daraus folgt dann auch (und hier soll es ja bald um Integrale gehen), dass der vom Aufzug zurückgelegte Weg quadratisch von der Zeit abhängt (v=a·t und s = (1/2)·a·t²), während er bei konstanter Geschwindigkeit linear mit der Zeit geht (s = v·t).

Genauso gehst Du in Deiner Beschreibung nicht ein, was es bedeutet, wenn v=0 ist (der Aufzug bleibt in einem Stockwerk stehen, damit jemand aus- oder einsteigen kann) und auch nicht darauf, was bedeutet, dass der Aufzug eine negative Geschwindigkeit hat (er fährt nach unten, wenn eine positive Geschwindigkeit ein "nach oben fahren" bedeuten soll).

Zu b) hierzu habe ich Dir oben schon Hinweise gegeben was da meines Erachtens hingeschrieben werden soll: Bewegungsgleichungen/Funtionsvorschriften für die einzelnen Intervalle.