Suchverläufe werden im Browser gespeichert und sonst nur noch dort, wohin Du Dein Browserprofil synchronisierst. Auf keinen Fall jedoch im Router - auch dann nicht, wenn man am Router den Netzwerkverkehr mitschneiden würde, sähe man die konkreten Suchanfragen nicht, sondern nur die angesteuerten Domains/Webserver (Konkrete URLs sind heutzutage bereits verschlüsselt).