Ich verstehe aber nicht wieso meine Rechnung nicht stimmt.

... weil in Deiner Rechnung F'(x) nicht gleich f(x) ist.

Ich dachte ich muss die Kettenregel anwenden.

Nein, es gibt keine Kettenregel beim Integrieren. Du musst die Anwendung der Kettenregel quasi "umkehren".

Und wenn Du die bei der Ableitung verwendete Kettenregel umkehren willst, dann hilft Dir beim Integrieren (in einfachen Fällen) das Substitutionsverfahren. Beispiel sei der erste Term 3 · cos(2x).

Substitution:

Damit (ohne Grenzen und ohne + C)

Jetzt kannst Du mit der Kettenregel die Probe machen: