Muss ich das auf den PC vor Ort installieren, oder geht geht die Analyse auch von einem anderen PC der weiter weg ist?

Du musst innerhalb des Netzwerkes sein, in dem Du den Traffic analysieren willst (ein Router ist beispielsweise eine harte Grenze). Das meint den Rechner, auf dem Wireshark läuft. Wie jedes andere Programm kannst Du das natürlich auch in einer Remote Session laufen lassen.

Und: Du musst die Netzwerkkarte, die die Netzwerkdaten "aufnehmen" soll, auch in den "promiscuous mode" schalten können, denn anderenfalls kannst Du die Daten, die nicht für den "Analyse-Rechner" (also dem Rechner auf dem Wireshark läuft) bestimmt sind, nicht "sehen".

Braucht Whireshark Internet um die Daten zu analiseien?

Nein.