Ich verstehe nicht wieso bei der Lösung eine Tangente berechnet wurde.

... weil in der Aufgabenstellung steht, dass ab t=10 mit konstanter Beschleunigung gebremst wird und die Steigung der Tangente bei t=10 genau diese konstante negative Beschleunigung angibt. Von diesem Zeitpunkt an ändert sich die Geschwindigkeit linear (Das ist das Wesen einer konstanten -- auch negativen - Beschleunigung).

Das ist im Grunde ein "Verlassen" der eingangs der Aufgabe gemachte Aussage, dass die Funktion v(t) den Geschwindigkeitsverlauf über die ganzen 20 Sekunden beschreiben würde und damit betritt man ein neues Szenario.