Ist zwar schon extrem lange her hier...ich habe heute aber das selbe Problem gehabt. Sprich: Mein Freund ist mit seinem Amazonkonto auf dem Fire-TV Stick im Wohnzimmer angemeldet, mein Amazonkonto hat aber Prime. Ich wollte also mein Konto bei Prime Video anmelden, ohne ihn komplett vom TV Stick abzumelden. Geht auch nach 4 Jahren noch immer nicht.
Falls es nochmal jemanden geben sollte, der Probleme damit hat, hier noch ein Lösungsansatz: viele SmartTVs haben auch eine PrimeVideo App. Einfach diese nutzen. Also mit der TV Fernbedienung die Quelle wechseln und die App auf dem TV, nicht dem Stick öffnen. Da kann man sich dann separat anmelden. Der Aufwand ist ähnlich gering wie "Konto wechseln". Wahrscheinlich geht es auch über den Browser vom SmartTV und eventuell sogar über einen Browser auf dem Stick. Das habe ich nicht getestet, weil ich mit der ersten Lösung gut zurecht komme.
Lg
