Ich würde zuerst an die betreffende Realschule gehen, bzw. dort anrufen und mich erkundigen, ob ein Wechsel möglich ist. Evt. sind die Klassen schon "voll", d.h. an der Teilergrenze. Erst wenn geklärt ist, wohin der Wechsel geht würde ich mich an die Schulleitung deines Gymnasiums wenden. Allerdings weiß ich natürlich nicht, ob es an einer Privatschule eine Art "Kündigungsfrist" gibt, d.h. dass man eine bestimmte Zeit vor dem Schulwechsel diesen auch bekanntgeben muss. Allgemein handelt es sich dabei um einen relativ einfachen Verwaltungsakt.