Beispiel: Der Mann läuft rum.

Klar, hier wird es auseinandergeschrieben. (Ich laufe rum, du läufst rum, er/sie/es läuft rum, usw.)

Und obwohl meine Deutschkenntnisse überdurchschnittlich gut sind, bin ich mir beim Folgenden nicht 100% sicher.

Variante 1: Er kann gerade nicht nachschauen, weil er rumläuft.

Variante 2: Er kann gerade nicht nachschauen, weil er rum läuft.

Welche Variante ist korrekt?