Ich arbeite gerade an der Analyse der folgenden Zahlenfolge:

an=(λ+n)/(n!+n)

wobei λ∈R eine Konstante ist und n∈N. Mein Ziel ist es, den Grenzwert dieser Folge zu bestimmen und zu zeigen, dass sie gegen 0 konvergiert, wenn n gegen unendlich geht.

Ich möchte dies unter Verwendung der Definition des Grenzwerts für eine Folge beweisen, das heißt:

∀ ε>0 ∃n0∈N: ∣an−0∣<ε ∀n≥n0.

Behauptung: lim n->∞ (λ+n)/(n!+n) =0

zu Zeigen: ∀ ε>0 ∃n0∈N: ∣an−0∣<ε ∀n≥n0

Beweis: Es gilt: ∣ (λ+n)/(n!+n)−0 ∣ =| (λ+n)/(n!+n) |= (|λ|+n)/(n!+n) ≤ (|λ|+n)/(n+n) ≤ (|λ|+n)/n = |λ|/n +1< ε →n> |λ| /( ε −1)

Ich habe bereits eine Abschätzung durchgeführt, indem ich den Zähler und Nenner für große ∩ analysiert habe, aber ich bin mir unsicher, ob mein Beweis vollständig ist bzw. ob meine Abschätzung sinnvoll ist.

gibt es einen eleganteren Weg, die Abschätzung durchzuführen ?

Danke im Voraus!