In einer Nachprüfung wird dein Wissen abgefragt, dass du eigentlich zur Klausur hättest wissen müssen und wenn du nun zwischen 2 Noten stehst oder der Lehrer dir vielleicht noch die Chance geben will dich zu verbessern, kannst du eine solche Nachprüfung machen. Im Abitur kann man das auch machen, wenn du dich in einem Fach verbessern möchtest.

Soweit ich weiß sind diese Nachprüfungen meistens mündlich, ich kann mir jedoch auch vorstellen, dass das auch schriftlich geht.