h * f = m * c²

Vorweg ein Einheitencheck:
Einheiten links für h * f sind...... (kg * m² / s) / s = Joule (Einheit der Energie)
Einheiten rechts für m * c² sind... kg * (m² / s²) = Joule (Einheit der Energie)

Schaut gut aus, Äquivalenzumformungen erhalten weiters die Einheiten :-)
____________________________________________________________

Die Aussage hinter E = E, also m * c² = h * f ist:
#0: "Ein ruhendes Teilchen der Masse m besitzt so viel Energie wie ein
Photon der Frequenz f".

#1: Die Gleichsetzung E = E, also m * c² = h * f kann man wohl machen.
(thematisch weiterführende Ansichten von Louis de Broglie, Nobelpreis
für Physik)

#2: Hierbei ist zu beachten, dass für eine sinnvolle Betrachtung zwei
verschiedene Teilchen A und B miteinander verglichen werden:
Teilchen A --> massebehaftet (z.B. Elementarteilchen)
Teilchen B --> masselos (Photon)

#3:
m * c² = Ruheenergie eines massebehafteten Teilchens der Masse m und mit c = Lichtgeschwindigkeit.
h * f = Energie eines masselosen Teilchens der Frequenz f und mit h =
plancksches Wirkungsquantum.

#4: Somit würde die Fragestellung besser lauten: "Mit welcher Geschwindigkeit v muss sich ein Teilchen der (Ruhe-)Masse m bewegen, damit seine Bewegungsenergie seiner ursprünglichen Ruheenergie entspricht?"

#5: Wollte man also die (Ruhe-)Energie eines massebehafteten Teilchens A
mit sich selbst, also seiner Bewegungsenergie, vergleichen, so kann man
wie folgt vorgehen:

#6: E(kin) = E(gesamt) – E(Ruhe) = gamma * m * c² - m * c²
Das gamma kommt von der Lorentztransformation und es gilt: gamma = (1 -
v²/c²) ^ (-1/2)

Gleichsetzen von
E(Ruhe) = E(kin)

Man erhält
m * c² = gamma * m * c² - m * c²

Daraus ergibt sich: gamma = 2

Aus gamma = (1 – v²/c²) ^ (-1/2) = 2 lässt sich v zu ca. 0,87 * c
bestimmen.

#7: Die negative Lösung aus der obigen quadratischen Gleichung für v mit
v = -0,87 * c besagt, dass die Richtung, mit der sich das betrachtete
Teilchen bewegt, egal ist (wichtig ist nur, dass sich das Teilchen bewegt, also v ungleich 0 und somit E(kin) ungleich 0 ist).
Das Ergebnis ist masseunabhängig, heißt: gleiches Ergebnis für die
Geschwindigkeit (|v| = 0,87 * c für alle physikalischen Körper der Masse
m(beliebig)).

#8: Nun darf man aber nicht m*c² = h*f gleichsetzen UND dabei DEN
GLEICHEN massebehafteten Körper betrachten. Das ist physikalisch nicht
richtig (siehe #2).
Diese Berechnungen unter #6 sind relativistisch und „klassisch“ (also
nicht quantenmechanisch) für ein und dasselbe massebehaftete Teilchen
durchgeführt.

#9: Nun kann man argumentieren, dass einem bewegten physikalischen
Körper eine De Broglie-Wellenlänge zugeordnet werden kann (siehe Louis
de Broglie bzw. Welle-Teilchen-Dualismus), die da lautet:
Lambda = h / p mit Impuls p.

#10: Dabei muss man bedenken, dass für diese weiterführende
Betrachtungsweise ein (massebehaftetes) Teilchen als Wellenpaket (mit
Eigenschaften Energie, Impuls) aufgefasst werden muss. Das Wellenpaket
kann durch Überlagerung einzelner Schwingungen verschiedener Frequenzen mittels Gauß-Gewichtung beschrieben werden (wodurch sich übrigens das „=“ bei der Heisenbergschen Unschärferelation ergibt).
Das Maximum des im Raum lokalisierten Wellenpaketes bewegt sich mit
einem Impuls p, sofern sich das Teilchen überhaupt bewegt.
In weiterer Folge sind somit quantenmechanische Berechnungen
(Schrödingergleichung) durchzuführen.

#11: Damit kommt man auf Begriffe wie Phasengeschwindigkeit,
Gruppengeschwindigkeit, Impulsoperator, (kontinuierliche und diskrete)
Energieeigenwerte,…
Mit dem geeigneten Setting (Vereinfachung: Potential = 0;
Randbedingungen) lässt sich das Beispiel vermutlich (relativ aufwendig)
lösen.

#12: Eine passende Frage dazu wäre: „Wie lautet der Erwartungswert des Quadrates des Impulsoperators (entspricht Energie) und welcher De Broglie-Wellenlänge entspricht dieser Wert?“

Viel Spaß beim Rechnen :-)