Du kannst keine Gleichung 4. Grades (also mit x^4) mit dem TR lösen. Du müsstest die Gleichung oben durch Substitution vereinfachen also x^2 wird zu z. Dann hättest du: 2z^2-3z+4=0. Diese Gleihcung mit dem TR lösen und danach Resubstituieren. (aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen.)

Du meinst "Integration durch Substitution"... nicht "Substitution durch Integration". Substitution heißt nur, dass du einen komplizierteren Term durch einen einfachen ersetzt, damit du deine Rechenoperation leichter durchführen kannst und der schwierige Term nicht stört. Damit kannst du z.B. wie du schon sagst Integrale lösen. Du hast das bestimmt auch schon gesehen, als ihr ganzrationale Funktionen 4.Grades angeschaut habt. Du kannst z.B. die Gleichung x^4+2x^2+3=0 durch Substitution lösen, weil du x^2 durch z ersetzten kannst und dann nur die Gleichung z^2+2z+3=0 lösen musst.

Weil du in beiden Faktoren ein x hast. Beim Ableiten musst du dann ja auch die Produktregel nehmen und kannst nicht beides einzeln ableiten. Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel. Ohne das erste x ginge es mit der linearen Substitution. z.B. 2*Wurzel(2x+3) geht.