Aus eigener Erfahrung kann ich sagen,  das die Krankenkassen 8 bis 6 Wochen vor Auslauf des Krankengeldes darauf hinweisen, das man sich unverzüglich mit dem Arbeitsamt in Verbindung setzen muss, damit die Nahtlosigkeitsregelung greifen kann! Dies ist für die Krankenkassen Gesetzt! Ebenso, wie mit gleicher Mitteilung seitens der Krankenkasse ein Formular mit gesandt wird, welches der letzte Arbeitgeber - auch wenn man so lang krank geschrieben war und Krankengeld bezogen hat - ausfüllen muss, da diese Kombi mit erhaltenem Krankengeld und ehemaligem Lohn für das Arbeitsamt die Berechnungsgrundlage darstellt. 

Was mich allerdings wundert, Du schreibst das Du am 04.05 den Antrag auf EU-Rente gestellt hast und bereits Bescheid hast, das Deine EU-Rente ab 01.07. durch ist! ( was ja sehr schnell ging, ich musste vier Monate warten)  Das wundert mich, denn meines erachten benötigst Du die Nahtlosigkeitsregelung gar nicht, da die Rente zu 99,9 % ab Tag der Antragstelltung bewilligt wird, gerade bei uns chronisch kranken. (anders als wenn man in Altersrente geht)

Ich würde mir den Rentenbescheid mal genauer durchlesen, vielleicht hast du übersehen das die Bewilligung ab 04.05 ist, wobei dann natürlich die DRV erst mit der Krankenkasse abrechnet bevor du dann evtl.  für Mai und Juni die Nachzahlung bekommst, wenn überhaupt, da es da ja auch darauf ankommt wieviel Krankengeld Du bezogen hast. 

Ansonsten würd ich mal bei der DRV nachfragen warum nicht ab Antragstellung die EU-Rente bewilligt wurde, was ich komisch finde. 

Und eines is klar, wenn ab 01.07, dann erhälst Du die erste Zahlung erst am 31.07 für Juli. 

Die DRV  liegt nicht in der Pflicht wärend eines schwebenden Verfahrens auf die Nahtlosigkeitsregelung hinzuweisen, das obliegt der Krankenkasse da die ja das Krankengeld zahlen . 

Alles liebe und gute für Dich