Definiton:
Die funktion f sei auf einem Intervall I definiert. Wenn für alle x1, x2 aus I gilt:
Aus x1 < x2 folgt f(x1) < f(x2), dann heißt f streng monoton wachsend in I.
Aus x1 < x2 folgt f(x1) > f(x2), dann heißt f streng monoton fallend in I.
Erklärung
Im Grunde ist das nicht soo schwer. Wenn du dir 2 Werte auf der X Achse eines Wertes anguggst, so hast du x1 und x2. x2 muss dabei größer sein (Du suchst also einen bestimmten Wert auf der x-Achse, und guggst dann weiter rechts nach einen zweiten). Schaust du dir nun deren y-Koordinaten an, überlegst du, welche größer ist (da f(x) = y bei einem Graphen meißtens herrscht). Ist die Koordinate von x1 größer, als die Koordinate von x2, so ist deine Funktion von x1 bis x2 monoton fallend. Ist es andersrum, so ist deine Funktion streng monoton steigend. In der Praxis ist dies jedoch nicht so einfach anwendbar, da man oft nicht weiß, wie man x1 und x2 wählen soll. DARUM nutz man den Monotonie-Satz:
MonotonieSatz
Die Funktion f sei im Intervall I differenzierbar. Wenn für alle x aus I gilt:
f'(x) > 0, dann ist f streng monoton wachsend in I.
f'(x) < 0, dann ist f streng monoton fallend in I.
Erklärung
Eigendlich spricht es für sich. Der Trick ist es jetzt, ALLE x-Werte zu finden, deren Ableitungswert unter Null, oder über Null ist. Dies kannst du anhand der Nullstellen der Ableitungsfunktion finden (f'(x) = 0). Wenn du dir das mal auf einen Graphen vorstellst/zeichnest, weißt du, was ich meine. Dann siehst du sofort, bei welchen x Werten die monotonie fallend, und bei welchen x Werten die monotonie steigend ist.
Viel spaß * augenroll * ^^