Hallo,
erstmal musst Du Dir sicher sein, dass das Auto 100% technisch o.k. ist. Bei Kauf von Privat kann (und wird) der Verkäufer jegliche Gewährleistung ausschliessen.
Am besten nehm jemanden mit, der sich auskennt oder Kauf beim Händler. Die müssen 1 Jahr Gewährleistung geben, im 1 Halbjahr muss bei einem Defekt der Händler Dir beweisen, dass der Defekt erst nach dem Kauf aufgetreten ist. Ist in der Regel für den Händler schwierig.
TÜV heißt nur dass das Fahrzeug zum Zeitpunkt der Untersuchung verkehrstüchtig war. Wenn nach 200 km z.B. die Kupplung kaputt geht, hast Du schon die ersten Kosten. TÜV heißt nicht, dass nicht versteckte Mängel da sind. Am besten zum Sachverständigen, und die übersehen auch mal was :-(
Rote Nummern bekommst Du als Private(r) nicht, Du brauchts eine Kurzzulassung oder einen Kumpel, der rote Nummern hat (Händler o.ä.)
Keine Privathaftpflicht? Die 60...70 EUR im Jahr solltest Du schnellstens investieren.
Fürs Auto wird eine KFZ-Haftpflicht gebraucht. Ohne Haftpflicht für ein Fahrzeug keine Nummer!
Ablauf:
-Kaufvertrag machen
-KFZ-Brief + Zulassung geben lassen
-Bei Versicherung Bestätigungsnummer geben lassen
-Zur Zulassungsstelle gehen und anmelden
Nach Kaufverträgen musst Du mal googeln. Es gibt z B. beim ADAC gute Vorlagen.
Viele Spaß mit dem Auto!