Die Lösung:
Bin noch mal zum Media Markt. Dort hat mir eine fähige Verkäuferin gesagt, dass es öfter mal vorkommt, dass Sim-Karten erst funktionieren, wenn man sie noch mal in ein anderes Gerät einsetzt. Komisch dachte ich, aber gesagt getan. Die Verkäuferin hat die Nano Karte in ein HTC eingelegt. Dort hat alles sofort funktioniert. Anschließend wieder in das Z3 compact zurück und plötzlich hat auch da alles funktioniert. Mein Osterwunder ;-)