Hallo, dafür musst du ein Gleichungssystem aufstellen.
Zuerst definierst du dir die Funktionsgleichung deiner gesuchten Funktion f(x)
In diesem Fall (Polynomfunktion 3. Grades):
f(x)=a*x^3 + b*x^2 + c*x +d
Da die Funktionsgleichung f(x) 4 Unbekannte hat (a, b, c und d), benötigst du nun 4 Gleichungen, welche du aus der Angabe entnehmen musst. Sie sehen in diesem Fall wie folgt aus:
I. f(-2)=0=a* (-2)^3 + b* (-2)^2 + c* -2 + d = 0 = -8*a + 4*b -2*c +d = 0
II. f(4)=8=a* 4^3 + b*4^2 + c*4 + d =8 = 64*a + 16*b + 4*c + d = 8
III. f(3)=0=a* 3^3+ b*3^2 + c* 3 + d = 0 = 27 *a + 9*b+ 3*c +d =0
Für Gleichung 4 musst du nun wissen, dass bei einer Berührung der Funktion (mit einer anderen Funktion oder in diesem Fall mit der x-Achse) die Steigung immer gleich der anderen Funktion/Achse ist. Sprich in diesem Fall weißt du nun, dass die Steigung (=f'(x) ) an der Stelle x=3 ebenfalls 0 sein muss. Demnach muss nun die Ableitung von f(x) gebildet werden.
f'(x)=d f(x)/d x = 3 * a *x^2 + 2*b*x + c
Mit dieser Gleichung kann nun die 4. Gleichung für das Gleichungssystem angesetzt werden:
IV. f'(3) = 0 = 3* a *3^2 + 2*b*3+c = 0 = 27*a + 6*b+ c = 0
Mit dem nun vorhanden Gleichungssystem mit 4 Gleichungen kannst du nun die gesuchte Funktion, also die Parameter a, b, c und d berechnen (Lösen von Gleichungssystem).
Als Ergebnis bekommst du dann folgende Werte:
a= 4/3
b= -16/3
c= -4
d= 24
LG