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Würde es vielleicht zunächst mal mit Dampf probieren. Da hättest du den Vorteil definitiv nichts zu beschädigen. Dampfsauger Erfahrungen zum Thema Fleckenentfernung gibt es zum Beispiel hier: https://www.superlearn.de/dampfsauger-erfahrungsbericht/
Falls das nix bringen sollte würde ich eine Stufe weiter gehen und ein chemischen Reiniger einsetzten. Müsste dann aber schon etwas agressiveres als Meister Proper sein. Sollte das auch nicht helfen bekommst du die Flecken auf jeden Fall mit Stahlwolle weg, dabei machst du allerdings auch Kratzer in die Spüle rein.