Die Parabelgleichung hat beispielsweise die Form, die du angegeben hast. Aber besser ist es bei dieser Fragestellung von y= ax² + bx +c auszugehen. Du hast also 3 Unbekannte - nämlich a, b, c und hast 3 Punkte, die die Parabelgleichung erfüllen. Im allgemeinen geht dies.
Setze ein: (-3/0) liefert (A): 0 = 9a - 3b + c als Gleichung.
(2/0) liefert (B): 0 = 4a + 2b +c als Gleichung
(-2/ 0,5) liefert (C): 0,5 = 4a -2b +c als Gleichung.
Und nun die Frage, wie bekomme ich die 3 Unbekannten aus den 3 Gleichungen heraus. Da gibt es viele Wege, die nach Rom führen.
Ich weiß nicht, wie vorgebildet du bist und nehme daher einen, der immer funktioniert, der aber recht aufwändig ist.
Also: ich löse (B) und (C) jeweils nach c auf: Einerseits gilt c= -4a - 2b
und andererseits und c = 0,5 -4a +2b . Gleichsetzen der bei c-Ausdrücke liefert:
0,5 - 4a +2b = -4a -2b +4a auf beiden Seiten der Gleichung liefert
0,5 +2b = -2b Diese Gleichung wird gelöst durch b = -1/8.
Nun setze ich diesen Wert von -1/8 in die 3 oberen Gleichungen ein und habe dann ein Gleichungssystem von 3 Gleichungen und 2 Unbekannten. Dann suche ich mir die beiden "geeignesten Gleichungen" heraus und löse das System.
Also:
(A*) 0 = 9a - 3 * (-1/8) +c
(B*) 0 = 4a + 2*(-1/8) +c
(C*) 0,5 = 4a - 2(-1/8) +c
Auflösen von (B*) und (C*) nach 4a und gleichsetzen liefert:
1/4 - c = 0,5 -1/4 -c
Und siehe da: 1/4 = 1/4 bleibt stehen. Das ist zweifellos richtig aber bringt uns nicht weiter. (Tricki Aufgabe!)
Also nochmal lösen mit den anderen Gleichungen und auflösen nach c
(A**) -3/8 -9a = c und (B**) 1/4 -4a = c Gleichsetzen liefert:
-3/8 - 9a = 1/4 - 4a oder -5/8 = 5a und somit a = -1/8 ebenfalls.
Jetzt also a in beispielsweise (B**) eingesetzt liefer c = 3/4. Damit wäre die Gleichung gelöst. Aber: Ich bin ja der (ungekrönte) Weltmeister im Verrechnen, daher muß ich meine Ergebnisse unbedingt überprüfen. Mal sehen:
in(A): 0 = 9* (-1/8) -3 *(-1/8) + 3/4 Tääröööhh Es stimmt. Das Überprüfen in den beiden anderen Gleichungen schenke ich mir hier aus Schreibgründen, äh, ich meine Faulheitsgründen.
Bleibt noch zu klären, wieso Dein Ansatz mit y = p( x-q)² +r mir meinem
y = ax² +bx +c gleichwertig ist. Aber das überlasse ich Dir.