Ich bin Mathematiklehrer an einem Gymnasium und höre diese Frage daher recht oft. Ich antworte darauf meistens folgendermaßen:
Schülerinnen und Schüler stellen diese Frage immer genau dann, wenn sie gerade frustriert sind. Wenn es dagegen gerade läuft (z. B. sie einen bestimmten Typ Gleichungen auf einmal problemlos lösen können), höre ich diese Frage nie; dann wollen sie sogar gerne noch mehr Aufgaben der gleichen Art.
Wenn wir das aber mal beiseite lassen: Natürlich braucht man auch die Schulmathematik später mehr, als man mit sechzehn Jahren (oder so) vielleicht denkt. Längst nicht die ganze, aber das meiste baut eben auch aufeinander auf. In so manchen Handwerksberufen braucht man dies und das, und bei überraschend vielen Studienfächern (z. B. wird man in Psychologie scheitern, wenn man nicht ordentlich Statistik kann).
Aber davon abgesehen: Gymnasialbildung umfasst nun einmal eine ganze Menge Dinge, die man eben nicht im engeren Sinne braucht, und das ist auch gut so. Vieles an der Mathematik gehört nun einmal zu den bewundernswerten Dingen, die der menschliche Geist hervorgebracht hat, ebenso wie Romane, Gemälde, Opern und berühmte Bauwerke. Man kann natürlich auch ein sinnvolles Leben führen, ohne ein Drama von Shakespeare oder eine Ballade von Schiller oder vieles andere zu kennen oder auch eine fremde Sprache außer Internetenglisch zu sprechen – aber höhere Bildung geht nun einmal (das ist gesellschaftlicher Konsens) nicht ohne eine gewisse Beschäftigung mit der Vielfalt der menschlichen Kultur, und zu dieser gehört eben auch der Satz des Pythagoras oder der Grundgedanke der Differentialrechnung.

Dritte Möglichkeit: Man nutzt den Höhensatz aus: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich zum Rechteck, das aus den Hypotenusenabschnitten gebildet wird. Als Formel: h^2 = p·q.
Wenn z. B. die Wurzel aus 11.5 gesucht ist, zeichnet man eine Strecke der Länge 11.5 cm und setzt noch eine 'Verlängerung' von 1 cm dran. Das ist die Hypotenuse mit den zwei Abschnitten p(=11.5 cm) und q(=1cm). Über dieser konstruiert man mit dem Thaleskreis ein rechtwi. Dreieck, dessen Höhenfußpunkt genau die Grenze zwischen p und q ist (also dort, wo die 11.5 cm enden und die 'Verlängerung' beginnt). Weil der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe (h^2) genau gleich p·q=11.5 · 1 = 11.5 wäre, hat die Höhe selbst die Länge Wurzel-aus-11.5 cm.