Also ich hab jetzt das:

W=Abb( X,V ) ist

1.   (W,+) eine kommutative Gruppe. 

2.  Distributigesetze etc.   mir fält nur das

Um 1. zu prüfen brauchst du dann 

a)    W ist gegenüber + abgeschlossen.

Nachweis: Seien f,g aus W. Dann ist nach Def. von + (siehe Aufage) 

f+g die Abbildung f+g : X __> V mit (f+g)(x) = f(x)+g(x) für alle x∈X,

also auch ein Element von W.

b)     + ist assoziativ

Nachweis: seien f,g,h aus W. Dann sind (f+g)+h  und f+(g+h) 

Abbildungen von X nach V und um deren Gleichheit zu zeigen, muss man

prüfen, ob für alle x ∈ X  gilt  (  (f+g)+h )(x)  =  (   f+(g+h)  )(x) .

Sei also x ∈ X  dann gilt  (mehrfache Anwendung der Def. von +)

(  (f+g)+h )(x)  =   (f+g)(x) +h(x)  =   ( f(x)+g(x)  )+h(x) 

wegen der Assoziativität von + in V gilt dann 

                  =    f(x)+    (  g(x) +h(x) ) 

Jetzt die Def. von + andersherum anwenden führt 

dann auf  (   f+(g+h)  )(x) .