Hallo, ich hätte eine Frage zu folgendem Satz: Sed persae magno regno potiti potestam suam augere studuerunt.

Hier habe ich folgendes übersetzt: Aber die Perser, die sich einem großen Königreich bemächtigt haben, haben sich bemüht, ihr Macht zu vergrößern.

Ist diese Übersetzung richtig oder müsste man hier die Vorzeitigkeit mit Plusquamperfekt ausdrücken (also bemächtigt hatten)?