Hungern wird in dem Fall groß geschrieben, weil 'am' davor steht.

Man schreibt z. B. alle Wörter groß, die einen Begleiter (Der, Die, Das) haben. Man schreibt auch groß, wenn ein versteckter Begleiter wie z. B. Beim, Am, Zur, Zum vor einem Tunwort steht.

Am Hungern. Statt 'Am', kann man auch 'Das' davorschreiben. Somit schreibt man das Hungern groß.