Also am Router kann man das normalerweise nicht sehen, es sei denn, deine Eltern kennen sich sehr gut mit Computern aus und lassen das ganze über einen Server laufen, welcher alles aufzeichnet von allen Usern die sich verbinden...
Ein Standard W-Lan Router ist einfach nur da um dich mit dem Netzwerk bzw dem Internet zu verbinden und zeichnet nix auf.
Wie schon erwähnt - dein Verlauf wird auf deinem Endgerät im Browser gespeichert und auch bei Google, etc. also einfach immer wieder mal reinschauen und löschen, sofern du was vor Deinen Eltern zu verbergen hast - was auch immer das ist.
(Wäre ich Vater eines Teenagers, würde ich mir bewusst sein, dass die sowieso machen was sie wollen im Internet bei Freunden und sonst wo und würde es entweder allgemein verbieten wenn er/sie noch zu jung ist oder erlauben und dem Schicksal überlassen - wenn mein Kind Pornoseiten schauen will dann is das seine Privatsache oder?