Ein Unternehmen arbeitet in der kommenden Periode für sein wichtigstes Gut zu Planungszwecken mit der folgenden Kostenfunktion:

𝐾(𝑥) = 𝑥(hoch3) − 15𝑥(hoch2) + 300𝑥 + 600 , 𝑥 ∈ [0,20]

Dabei sei 𝑥 die Produktions- und Absatzmenge. Der Marktpreis pro Mengeneinheit des Gutes schwankt und wird im Folgenden 𝑝𝑝 > 0 bezeichnet. Am Markt können in der kommenden Periode maximal 30 Mengeneinheiten des Gutes abgesetzt werden, aufgrund eines Vertrages mit einem Großkunden müssen aber mindestens 7 Mengeneinheiten produziert werden. Ferner wird aufgrund von Beobachtungen in der Vergangenheit angenommen, dass der Marktpreis pro Mengeneinheit mindestens 255 Geldeinheiten und maximal 270 Geleinheiten beträgt.

a) Ein Mitarbeiter hat Zweifel, dass es sich um eine sinnvolle Kostenfunktion handelt. Zeigen Sie, dass die Kostenfunktion monoton steigend ist und nur positive Werte annimmt, so dass die Zweifel des Mitarbeiters unbegründet sind.

b) Stellen die Deckungsbeitragsfunktion auf. Geben Sie dabei auch den Definitionsbereich an.

c) Bestimmen Sie die Tangente an die Deckungsbeitragsfunktion an der Stelle 𝑥0 = 7,5.

d) Bestimmen Sie die Produktions- und Absatzmenge mit dem maximalen Deckungsbeitrag.

e) Zeigen Sie, dass die Produktions- und Absatzmenge mit dem maximalen Stück-Deckungsbeitrag (=Deckungsbeitrag pro Mengeneinheit) nicht vom Marktpreis 𝑝𝑝 abhängt.