Die Bedeutung von sin(x) und cos(x) am Einheitskreis ist hier zu sehen:
Die Mathematiker interessieren sich für Dreiecke im Einheitskreis. Dazu zeichnen sie zunächst einen Einheitskreis E. Ein Einheitskreis ist nichts anderes als ein Kreis mit Radius r=1. In der Zeichnung sieht man den Kreis in grün.
Jetzt kann man zu jedem Winkel alpha einen Radius r einzeichnen. Ich habe das Beispiel alpha=36.9° gewählt. Der zugehörige Punkt auf dem Kreis soll hier P heißen.
Von P aus zeichnen wir einen Senkrechte zur x-Achse und schneiden dabei die x-Achse bei Punkt B.
Das Dreieck ABP ist rechtwinklig. Die kurzen Seiten habe ich c und s genannt.
Die lange Seite ist langweilig, weil sie immer eins ist. Wir haben das Ganze ja auf einem Einheitskreis gegründet.
Die Länge der kurzen Seiten s (rot) und c (blau) sind nicht langweilig: Je nach Winkel alpha haben diese Seiten unterschiedliche Längen.
Die Mathematiker interessieren sich unglaublich für die Längen von s und c bei gegebenen Winkel alpha.
Die Länge der kurzen Seiten kann man aus einer Zeichnung grafisch ermitteln, indem man das Bild für einen bestimmten Winkel zeichnet und dann die Längen s und c mit dem Lineal misst. So haben es die ersten Mathematiker gemacht, wenn sie die Längen von s und c wissen wollten.
In unserem Fall lesen wir grafisch ab:
s=0,6
c=0,8
Die genauen Werte für s und c kann man mit dem Taschenrechner über die Funktionen sin(alpha) und cos(alpha) ermitteln. Die Funktionen sin und cos sind so gemacht (definiert), dass sie genau diese Längen für eine bestimmte Winkel-Situation zurückliefern. Wie diese Werte im Taschenrechner hinter den Kulissen berechnet werden, das ist erstaunliche mathematische Zauberei und führt hier zu weit, ist aber hoch interessant, weil das, was eigentlich ja grafisch abgelesen wird, berechnet werden soll.
Der Taschenrechner liefert die genauen Werte:
s=sin(36,9)=0,60042...
c=cos(36,9)=0,79968...
In der Grafik oben gilt im dem rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:Da hier r=1 und c=cos(alpha) und s=sin(alpha) wird daraus:
oder
wenn man den Winkel alpha mit x bezeichnet:
Zusammenfassend kann man sagen:
Die Formel sin^2(x)+sin^2(x)=1 ergibt sich am Einheitskreis aus der Definition von sin(x) und cos(x) und der Anwendung des Satzes von Pythagoras.
