Die richtige Antwort ist "Nein". Es reicht dazu ein Gegenspiel für die Behauptung zu finden. Ich nehme als Gegenbeispiel die allseits bekannte Normalparabel. Das ist das einfachste Gegenbeispiel.

 Intervall: Die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall berechnet sich als Durchschnitts-Steigung m:

 wobei x1 und x2 die Intervallgrenzen sind.

Die durchschnittliche Steigung ist im Intervall also positiv, wie in der Voraussetzung verlangt.

Trotzdem ist der Graph der Normalparabel im Bereich [-1;0[ fallend:

In der Farbe Rot sieht man hier schön die Gerade mit der Durchschnittssteigung m=1.

Wenn man den Graph nicht zur Hilfe nehmen möchte, um zu zeigen, dass der Graph zum Beispiel bei x=-0,5 fällt, dann berechnet man die Ableitung an dieser Stelle:

  Da die Ableitung bei x=-0,5 negativ ist, fällt der Graph an dieser Stelle.

Zusammengefasst:

Die Normalparabel hat im Intervall [-1;2] eine positive durchschnittliche Änderungsrate (=Durchschnittssteigung). Trotzdem steigt die Normalparabel bei x=-0,5 (das liegt innerhalb des Intervalls) nicht.

Weil die Aussage ein Gegenbeispiel hat, ist die Aussage aus der Fragestellung als Ganzes falsch, denn wenn eine Aussage wahr ist, dann muss sie für alle Fälle wahr sein.