Grundsätzlich ist zwischen Kaufvertrag und Schenkung zu unterscheiden.
Beim Kaufvertrag müssen zwei übereinstimmende Willenserklärungen vorliegen, diese können schriftlich, mündlich oder konkludent geschlossen werden. Also in deinem Fall wäre dies eine mündliche Willenserklärung, da er mit dir die Übergabe des Hundes mündlich vereinbart hat. Nach §433 BGB muss er dir das Eigentum an der Sache (dem Hund) verschaffen und du bist andererseits verpflichtet ihm den Kaufpreis zu zahlen. Nach dem Gesetz werden Hunde wie Sachen behandelt - § 90a BGB.
Jetzt hast du geschrieben, dass ihr keinen Kaufvertrag vereinbart habt, da er dir den Hund schenken möchte. Dazu kannst du dir § 518 BGB anschauen. Hier geht es um die Form des Schenkungsversprechens. Grundsätzlich ist hier die notarielle Beurkundung notwendig, es sei denn (Absatz 2) der Mangel der Form wird durch die Bewirkung der versprochenen Leistung geheilt - indem er dir den Hund überreicht hat. Theoretisch müsste dir also der Hund bereits gehören durch § 518 Abs. 2.
Ich hoffe dass ich dir etwas weiterhelfen konnte ;)
