Es ist nicht empfehlenswert ohne entsprechende Ausstattung ins Gebirge zu fahren. Vorausgesetzt du meinst mit Gebirge, Berge von mindestens 1000 Höhenmetern.
In dem Fall brauchst du ein Mountainbike mit Luftfedergabel, hydraulischen Scheibenbremsen, einer guten Gangschaltung und evtl. Fullsuspension (also Heckfederung). Mit einem herkömmlichen Tourenrad oder, Gott bewahre, E-Bike würde ich mich nicht ins Gebirge trauen. Touring- und Trekkingräder sind für Asphalt und flache unbefestigte Straßen gemacht, nicht einmal für Wurzeln und kleine Hügel.
Alternativ gibt es auch Mountainbikes mit Elektromotor, falls du bei steilen Hügeln Hilfe brauchst.
Aus eigener Erfahrung kann ich berichten, dass man mit einem Mountainbike auch problemlos in der Stadt fahren kann, womöglich besser als mit so genannten "Citybikes". Die Federung erlaubt einem komfortables Fahren, sogar über hohe Bordsteine, und die starken Bremsen sind im Stadtverkehr ebenfalls nützlich.
Daher würde ich dir ein Mountainbike um die 1000€ empfehlen, z.B. dieses hier:
https://www.cube.eu/2017/hardtail/attention/cube-attention-sl-blacknflashorange-2017/