Zeigen Sie, dass die Kraft senkrecht auf dem Ortsvektor steht, dass also F⊥r ist?

Betrachten Sie in zwei Dimensionen das Potential $V(r)=(a·r)/|r|$ $|r|=(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}$ und a=konst und r (im Zähler) die jeweilige Komponente also x und y.

Als zugehöriges Kraftfeld bekommt man mit F(r) = -grad(V(r)) $F_x\left(r\right)=-\frac{a\cdot x^2}{\left|r\right|^3}+\frac{a}{\left|r\right|}$ (analog für y)

Für die Aufgabe soll man das Skalarprodukt bilden mit einem beliebigen Ortsvektor, allerdings kommt da nur 0 raus, wenn x=y woran liegt das? $F_x\left(r\right)=\ \left(-a\cdot\frac{x^2}{r^3}+\frac{a}{r}\right)\$

Answer 1

[YBCO123]

Was bezeichnest du mit r ? Soll das ein Vektor sein?

Dann muss aber auch a ein Vektor sein und a*r das innere Produkt.

Zeig mal die ganze Aufgabe, da stimmt irgendwas nicht.

und r (im Zähler) die jeweilige Komponente also x und y

Wa soll das heißen? Gibt's dann ein V für x und einmal für y ?

Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe so da steht...

Ich gehe davon aus, dass a ein Vektor ist, mit den Komponenten a, b.

Also sind die Kraftkoponenten

$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ax+by}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\frac{y\left(ay-bx\right)}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{ax+by}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\frac{x\left(bx-ay\right)}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}$

Nun berechne das innere Produkt :

$\frac{xy\left(ay-bx\right)}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{xy\left(bx-ay\right)}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}=0$

Es folgt also tatsächlich die obige Behauptung.

Comments

[Winterzeit11]

Okay ja danke, in der Aufgabe stand nur Betrachten Sie in zwei Dimensionen das Potential V (r) = (a · r)/r , wobei a ein konstanter Vektor ist.  Geben Sie die Ortsvektoren r an, fur die die Kraft senkrecht auf ihnen steht, also F⊥ r ist. Auf jeden Fall sieht das so richtig aus wie es da steht Daumen Hoch

[YBCO123]

@Winterzeit11

Ja, hättest du das gleich gesagt, hätte man sich Rätselraten erspart.