Woher weiß ich bei der Bestimmung des Monotonieverhaltens, was ich hier in die Klammern einsetzen muss (also in dem Fall f‘(1) und f‘(2)?
2 Antworten
Bei dieser Aufgabe ging es wohl nur darum zu zeigen, dass f nicht komplett monoton ist, also sowohl steigt als auch fällt.
Dazu wurden hier 2 Stellen "willkürlich" ausgesucht, für die die 1. Ableitung einmal einen positiven und einmal einen negativen Wert ergibt. Da es sich bei der Ableitung um eine ungerade Funktion handelt, muss es zwei solche Stellen mit unterschiedlichem Vorzeichen geben - ungerade Funktionen laufen immer von -∞ nach +∞ oder umgekehrt.
Um jetzt nicht wild herumzuraten [f'(-1) und f'(1) sind z. B. beide <0] würde man "schnell" die Nullstellen der Ableitung ermitteln und dann die so entstehenden Intervalle prüfen (ein Wert je Intervall reicht), um die Vorzeichen in diesen Bereichen zu ermitteln - so hast Du dann auch direkt die Bereiche in denen die Funktion streng monoton steigend bzw. fallend ist.
In diesem Fall kämst Du auf x=0 und x=9/4 als Nullstellen der 1. Ableitung, d. h. Du hättest 3 Intervalle zu prüfen: ]-∞;0], [0;9/4] und [9/4;+∞[. Hier würden sich nun die Zahlen -1,1 und 3 zum Testen anbieten: mit -1 und 1 kann man eh leicht rechnen und 3 ist die erste ganze Zahl im letzten Intervall.
Genauso gut könntest Du auch die 3 Zahlen -44, 7/4 und 103,51 testen (Hauptsache je eine aus jedem Intervall); es kommen dieselben Vorzeichen raus...
Da bieten sich Werte links und rechts der Nullstellen der Ableitung an.