Wo ist beim Spannen einer Feder die Geschwindigkeit am größten?
Hallo, ich komme bei dieser einen Physik-Aufgabe einfach nicht weiter. Und zwar wird an eine Feder der Federhärte D = 5N/m ein Massestück ( 100g = 2 N) gehängt. Bei diesem vorgang wird die Frage gestellt, wo das Massestück seine höchste Geschwindigkeit hat und wie groß diese ist. Über den Energieerhaltungssatz bin ich informiert und habe errechnet, dass die Gesamtenergie um und bei 1 Nm sollte, korrigiert mich, wenn es falsch ist, danke. Ich finde aber irgendwie keinen Ansatz, wie ich nun auf die größte geschwindigkeit komme, dazu muss ich doch bestimmt irgendeine Funktion v(?) ableiten. oder sollte ich anders anfangen. Mir wäre nun wichtig, zu wissen, mit welchen Formeln ich in welcher Reihenfolge arbeiten soll. ich würde mich sehr um eure Hilfe freuen, Danke
3 Antworten
Das kann man einfach über den Energieerhaltungssatz rechnen, wenn man davon ausgeht, dass die Schwingung der Feder nicht gedämpft ist.
Die Auslenkung ist 0,1kg * 9,81m/s² = 5N/m * x =>
x = 0,1962m
Also hat sich bei einer Auslenkung von 19,62cm die Lageenergie des Gewichts (0,1kg) vollständig in Bewegungsenergie umgesetzt, wobei die Federenergie (Gleichgewichtsauslenkung) null ist.
der Punkt der höchsten Geschwindigkeit der Punkt des späteren Ruhens
Ist das nicht ein kleiner Widerspruch???
Das habe ich doch oben schon über den Energieerhaltungssatz begründet. Am des späteren Ruhens hat die Feder keine Rückstellkraft. Also ist die Federenergie null. Außerdem hat das Gewicht in der Ruhe trivialer Weise keine Bewegungsenergie. Am Ort der maximalen Auslenkung, zu Beginn, mag die Lageenergie des Gewichts sein wie sie will, am Ort der späteren Ruhe muss sie sich vollständig in Bewegungsenergie umgewandelt haben.
Außerdem wird der Körper vom Loslassen bis zum Ort der späteren Ruhe beschleunigt. Danach ist die Rückstellkraft der Feder größer als die Gewichtskraft, d.h. der Körper wird wieder abgebremst. Solange der Körper beschleunigt wird, wächst seine Geschwindigkeit. Wird der Körper danach wieder abgebremst, hat er zuvor seine maximale Geschwindigkeit erreicht.
Man kann natürlich auch wie rumar schon geschrieben hat eine Differentialgleichung aufstellen und lösen, aber warum kompliziert wenn es auch einfach geht?
Ich nehme einmal an (weiß aber nicht, ob dies wirklich auch so gedacht war), dass man da das Massestück an die vorher in Ruhelage (s=0, F=0) befindliche Feder hängt, zum Zeitpunkt t=0 loslässt und damit das System sich selbst überlässt.
Zu dieser Situation kann man dann für die folgende (reibungsfreie) Bewegung eine Differentialgleichung aufstellen und bearbeiten.
Nebenfrage: Was soll mit "100g = 2 N" gemeint sein ??
Diese Aufgabe lässt sich relativ einfach lösen über eine zunächst qualitative Beschreibung des Ablaufs und dann über eine Bilanz der Energieverhältnisse:
Zum Zeitpunkt t=0 wird die Masse m=100g=0,1kg an die entspannte Feder mit der Federhärte D=5N/m= 5kg/s² gehängt und losgelassen. Der Ausgangspunkt xA sei 0, Der Einfachheit halber wird die Richtung nach unten als positive x-Richtung festgelegt.
Von t=0 an wirken auf m zwei Kräfte, nämlich die Gewichtskraft G = mg mit g=10m/s² (zur Vereinfachung wird mit diesem gerundeten Wert gerechnet) und die entgegen gerichtete Federkraft F = -Dx, zusammen also die Kraft
K = G+F = mg - Dx.
K beschleunigt m in x-Richtung.
Wann ist die höchste Geschwindigkeit vmax, die ja gesucht ist, erreicht?
Nun, genau dann, wenn m nicht mehr in x-Richtung beschleunigt wird, wenn also K zu 0 geworden ist:
Aus K = mg - Dx = 0 folgt x = mg/D. Dieser Wert x sei xR genannt, denn auf diesen Ruhewert wird sich nach dem Ausschwingen das Massestück m einpendeln.
In Zahlen: xR = 0,1kg*(10m/s²)/(5kg/s² )= 0,2m.
Nun geht's weiter mit der Energiebilanz: An der Stelle xR steckt ein Teil der bis dahin umgewandelten potentiellen Energie Epot = G*xR = mg*xR in der Feder als Spannenergie EF = 0,5D(xR)². Der Rest steckt als Bewegungsenergie Ekin in der Masse m mit Ekin = 0,5m(vmax)². Es gilt: Epot = EF + Ekin;
mg*xR = 0,5D(xR)² + 0,5m(vmax)²;
0,5m(vmax)² = mg*xR - 0,5D(xR)² = mg*mg/D - 0,5D*(mg/D)² = 0,5(mg)²/D;
(vmax)²=m*g²/D;
vmax=g*Wurzel(m/D); In Zahlen:
vmax = 10(m/s²)*Wurzel(0,1kg/(5kg/s²) = (10(m/s²)*Wurzel(0,02s²);
vmax=1,4m/s.
Wollte man noch den tiefsten Wert xT des Massestücks berechnen (in der Aufgabe nicht gefragt), dann würde wieder eine Energiebilanz helfen. Dann ist nämlich die Bewegungsenergie des Massestücks m aufgezehrt (Ekin=0) und die ganze bis dahin umgewandelte potentielle Energie Epot steckt in der Federenergie EF. Es gilt dann also
Epot = EF
mg(xT) = 0,5D(xT)²;
mg = 0,5D(xT);
xT = 2mg/D; In Zahlen:
xT = 2*0,1kg*(10m/s²)/(5kg/s²) = 0,4m.
Das Massestück schwingt also vom Ruhepunkt xR = 0,2m noch um weitere 0,2m nach unten und würde nun bei vernachlässigbarer Reibung dauernd mit der Amplitude 0,2m um den Ruhepunkt xR = 0,2m schwingen.
also ist der Punkt der höchsten Geschwindigkeit der Punkt des späteren Ruhens? Wie soll ich das denn begründen, rechnerisch oder wie?