Wieso ist die Periodendauer unabhängig von der Masse?
Wenn man eine kleine Kugel an einem Faden stupse, dann müsste doch eine leichtere Kugel besser beschleunigt werden und somit auch schneller sein. Somit wäre aber die Periodendauer geringer?
6 Antworten
Wenn man eine kleine Kugel an einem Faden stupse, dann müsste doch eine leichtere Kugel besser beschleunigt werden und somit auch schneller sein.
Dem ist nicht so. Das Fadenpendel basiert letztlich auf Gravitation, und da gilt GALILEIs Beobachtung, dass alle Körper unabhängig von deren Masse gleich stark beschleunigt werden (zumindest am Anfang, wenn Reibungskräfte noch keine Rolle spielen).
Hier, beim Fadenpendel, wird die Schwerkraft durch die Aufhängung und die damit verbundene Aufteilung der Kraft verringert, aber das Prinzip ist dasselbe.
Die leichteren Kugeln haben eine geringere Trägheit, erfahren aber auch eine entsprechend (um denselben Faktor) geringere Kraft, was zur gleichen Beschleunigung führt.
Beim Federpendel übt die Feder und nicht die Gravitation die Rückstellkraft aus, und hier verlangsamen in der Tat große Massen die Schwingung. Deshalb steht hier 'm' da, wo beim Fadenpendel 'l' steht: Im Nenner unter der Wurzel.
Es geht also um ein Fadenpendel. Die Periodendauer hängt von der Länge, aber nicht von der Masse ab, denn:
Wie Du richtig sagst, ist bei einem leichteren Pendel eine geringere Kraft notwendig, um das Pendel zu beschleunigen. Aber die Kraft, die durch die Auslenkung zur Verfügung steht, ist bei einem leichteren Pendel eben auch geringer.
Ja, das ist so, wobei die Größe der Auslenkung auch keinen Einfluß auf die Periodendauer hat.
Also auf pittys physikseite steht folgendes:
Eine Schaukel, die aus einem an zwei dünnen Seilen aufgehängten dicken Brett besteht, hat eine bestimmte Schwingungsdauer T. Wie ändert sich diese Schwingungsdauer, wenn ein Mensch auf der Schaukel sitzt und schaukelt?
Die Schwingungsdauer wird größer.
Die Schwingungsdauer ändert sich nicht.
Die Schwingungsdauer wird kleiner.
Lösung 221
Lösung: c) ist richtig, die Schwingungsdauer wird kleiner.
Da durch den Menschen der Schwerpunkt der schwingenden Masse nach oben rutscht, verkürzt sich die Länge des Pendel. Nach der Gleichung für die Schwingungsdauer eines Pendels wird damit die Schwingungsdauer kleiner.
Das müsste ja theoretisch immer passieren, wenn zusätzlich Masse an einem Pendel hängt
Bei einem "idealen" Fadenpendel ist die gesamte Masse punktförmig am Ende des Fadens konzentriert. Ein reales Pendel hat aber immer eine gewisse Ausdehnung, auf die sich die Masse verteilt. Die Pendellänge wird vom Drehpunkt zum Schwerpunkt gemessen, und dieser kann sich verlagern, wenn Teile der Masse hinzugefügt oder weggenommen werden.
Beim Fadenpendel gilt unter gleichen Bedingungen (Fadenlänge ℓ, Auslenkwinkel β und Schwerebeschleunigung g) für die Rückstellkraft:
F ~ m, bzw. a = F / m = konst.
Die Beschleunigung des Pendels durch die Rückstellkraft ist folglich nicht von der Masse des Pendels abhängig.
Daraus resultiert der identische Schwingungsverlauf bei beliebiger Masse unter den o.g. Bedingungen.
y = f(t) = ŷ · sin(ω·t)
v = f´(t) = ŷ · ω · cos(ω·t) = v̂ · cos(ω·t)
a = f´´(t) = - ŷ · ω · ω · sin(ω·t) = - â · sin(ω·t)
In gleicher Weise erhält man in umgekehrter Reihenfolge durch Integration diese Schwingungsgleichungen.
Gruß, H.
Wie kommst du denn darauf, dass es nicht so sei?
Bsp.: Harmonische Schwingung ohne Dämpfung (x'' = - D/m * x)
Periode: T = 2*pi/w0
Eigenfrequenz: w0 = (D/m)^(1/2)
Also ist die Eigenfrequenz, welche die Periode bestimmt, abhängig von der Masse.
Habe nicht berücksichtigt, dass du von der Schwingung / Periode eines Pendels sprichst...
Hier kann man zur Betrachtung die Energieerhaltung heranziehen:
E_pot + E_kin = konstant
-> m*g*h(t0) + 1/2*m*v^2(t0) = m*g*h(t) + 1/2*m*v^2(t)
Mit v(t0)=0 führt dies zu:
g*h(t0) = g*h(t) + 1/2*v^2(t)
-> v^2(t) = 2g*( h(t0) - h(t) )
Die resultierende Geschwindigkeit des Pendels hängt also bloss von der Auslenkung bzw. hineingesteckter potentieller Energie ab. Somit ist auch die Periodendauer nicht von der Masse abhängig.
Ich hoffe, ich konnte deine Frage damit klären :)
Ups, die hängt natürlich auch nicht mehr von der Auslenkung ab, sondern von der Höhendifferenz zwischen Ausgangshöhe und momentaner Höhe -> ( h(t0) - h(t) ). Diese wiederum hängt mit der Pendellänge zusammen, dies ist einfach zu sehen, wenn du es dir z.B. kurz skizzierst.
2. Korrektur: Nur die Periode ist nicht abhängig von der Auslenkung, die Geschwindigkeit natürlich schon.
Auslenkung und Pendellänge beeinflussen die Geschwindigkeit. Die Periodendauer wird dadurch "kompensiert", dass bei höherer Auslenkung der Weg, der zurückgelegt werden muss, länger ist. Die Periode ist somit tatsächlich nur von der Pendellänge abhängig.
Die letzte Korrektur war etwas überhastet ^^
Die Formeln kenne ich, wollte nur das physikalisch erklärt bekommen
Ich habe die Formeln verwendet um herzuleiten weshalb die Periodendauer nicht von der Masse abhängig ist.
In kurz (was oben mit den Formeln gezeigt werde sollte): Indem du, wenn die Masse grösser ist, mehr potentielle Energie für eine Auslenkung hineinsteckst, erhälst du auch eine höhere kinetische Energie. Höhere E_kin -> gleiche Geschwindigkeit trotz grösserer Masse.
Danke an sich ist mir das schon klar (dennoch vielen Dank für die Mühe!) .. Ich hab nur vorhin folgendes gelesen:
Eine Schaukel, die aus einem an zwei dünnen Seilen aufgehängten dicken Brett besteht, hat eine bestimmte Schwingungsdauer T. Wie ändert sich diese Schwingungsdauer, wenn ein Mensch auf der Schaukel sitzt und schaukelt?
Die Schwingungsdauer wird größer.
Die Schwingungsdauer ändert sich nicht.
Die Schwingungsdauer wird kleiner.
Lösung 221
Lösung: c) ist richtig, die Schwingungsdauer wird kleiner.
Da durch den Menschen der Schwerpunkt der schwingenden Masse nach oben rutscht, verkürzt sich die Länge des Pendel. Nach der Gleichung für die Schwingungsdauer eines Pendels wird damit die Schwingungsdauer kleiner.
Das müsste ja theoretisch immer passieren, wenn zusätzlich Masse an einem Pendel hängt
Achso, deiner ursprünglichen Frage nach schien dies nicht so... Gerne ^^
Nicht direkt. Es steht ja schon in der Lösung: Durch die Verkürzung der Pendellänge (mit der Verschiebung des Schwerpunktes) wird auch die Schwingungsdauer verkürzt. In anderen Worten: wird die Pendellänge nicht verkürzt (trotz hinzufügen von Masse), so bleibt die Schwingungsdauer bestehen.
Also z.B. bei folgender Situation:
Eine Kugel der Masse x hängt an einem Pendel mit bestimmter Schwingungsdauer. Nun wird die Kugel gleichmässig mit einer Schicht eines Materials überzogen, insgesamt der Masse y. Die Masse beträgt nun x+y, die Schwingungsdauer bleibt aber bestehen, weil sich der Schwerpunkt nicht verschoben hat.
Wieso die Pendellänge am Schwerpunkt "abgelesen" wird, ist dir klar? In kurz: Der Schwerpunkt eines Objektes bewegt sich immer so, als ob die ganze Masse im Schwerpunkt konzentriert wäre.
Hallo,
Der Impuls (das Anstupsen), wird so gewählt das die Periodendauer gleich ist.
Der gleiche Impuls (gleiche Anstupskraft) bei deinen verschiedenen Kugeln hätte auch eine unterschiedliche Periodendauer zur Folge.
Was Du vermutlich eigentlich meinst, ist der Effekt, dass die Periodendauer über die Zeit erhalten bleibt. Dies liegt nur dann vor, wenn die Schwingung nicht gedämpft ist, was sie in der Natur/Praxis aber immer ist.
Dies wäre ansonsten ein Perpetuum Mobile und ist ein Spezialfall, der das eingehende Verständnis der zugrunde liegenden Mathematik erleichtern soll, aber das intuitive Verständnis (von natürlichen Vorgängen) irritieren kann.
LG
M
Naja ich meine, dass wenn zwei Fadenpendel eine Schwingung ausführen, wobei sie sich nur in der Masse unterscheiden, dass dann die Periodendauer gleich ist.
Das meinte ich auch =)
Nochmal anders gesagt: Wenn unterschiedlich schwere Kugeln die gleiche Periodendauer haben, dann war der Anstupser jeweils ein anderer.
Du beschleunigst 2 unterschiedliche Massen auf die gleiche Geschwindigkeit, also muss der Impuls jeweils ein anderer sein.
Oh nein, tut mir leid... =( vergiss das alles, ich hab da etwas durcheinander gebracht.
Hatte mich die Tage mit dem 3-Körper-Problem befasst, da ging es um Pendel, Planeten und Schwingkreise - davon raucht mir offenbar noch der Kopf...
Auch wenn ich nicht vollständig Blödsinn abgegeben hab: woflx hat die passende Antwort !
(Kann man (meine) Antworten irgendwie löschen? =| )
Also wird die Kraft für eine größere Auslenkung "aufgebraucht"?