Wieso hat x hoch 3 immer keinen oder 2 Extrempunkte?
Ich soll anhand der Ableitungen begründen, dass x^3 keinen oder zwei Extrempunkte hat. Ich hab's ausprobiert, komme aber nicht drauf. Kann mir jemand helfen?
dankee♡
4 Antworten
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat als Ableitung eine ganzrationale Funktion zweiten Grades (Parabel), und die hat entweder keine, eine oder zwei Nullstellen. Eine Nullstelle hat nur f'(x)=a * x², die Ableitung von f(x)=a/3 * x³+c. Leitet man f(x) aber nochmal ab, f"(x)=2ax, so sieht man, dass hier kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vorliegt.
Die Ableitung f' einer Funktion dritten Grades F ist immer eine quadratische Funktion.
Eine quadratische Funktion hat entweder zwei, eine oder keine reellwertige Nullstellen.
Hat f' genau zwei Nullstellen, dann ist die zweite Ableitung an den Nullstellen ungleich Null.
Daraus folgt, F hat an diesen beiden Stellen jeweils einen Extrempunkt.
Hat f' genau eine Nullstelle, dann ist die zweite Ableitung an dieser Stelle ebenfalls Null. Das macht diesen Punkt in F zu einem Wendepunkt. Welcher in F kein Extrempunkt ist.
Hat f' keine Nullstelle, dann hat F auch keine Extrempunkte.
Damit wären alle drei Fälle abgearbeitet. Weitere gibt es nicht.
F hat also entweder zwei Extrema oder gar keins.
Hallo,
f(x)=x^3 wird da extrem, wo die Ableitung gleich Null wird.
f'(x)=3x²
3x² wird nur gleich Null, wenn x=0
Die zweite Ableitung zeigt, um welche Art von Extremstelle es sich handelt.
Ist sie an der Stelle x=0 größer als Null, handelt es sich um ein Minimum, ist sie kleiner als Null, um ein Maximum.
Ist die zweite Ableitung bei x=0 auch Null, handelt es sich um einen Sattelpunkt, sofern die erste Ableitung, die darauf folgt und ungleich von Null ist, eine ungerade Ableitung ist.
f''(x)=6x f''(0)=0
f'''(x)=6, also ungleich Null.
Da es sich um die dritte Ableitung handelt und 3 eine ungerade Zahl ist, hast Du hier tatsächlich einen Sattelpunkt.
f(x)=x^3 hat also nur eine Extremstelle bei x=0, und das ist ein Sattelpunkt.
Herzliche Grüße,
Willy
wegen der form des graphen. Guck ihn dir genauer an , bei x3 sieht er immer aus wie eine schlange und hat daher einen hochpunkt und einen tiefpunkt. Das wären ja zwei extrempunkte.
Weshalb er keinen haben sollte weiss ich nicht, vielleicht in dem fall wenn er einen sattelpunkt hat. Aber das weis ich nicht genau, denn das ist schon zu lange her :)