Wieso benutzt man hier die Ableitung?
Bei Aufgabe a (2) verstehe ich nicht, warum man da die Ableitung von f berechnet und dann 3 einsetzt. Warum braucht man die Ableitung von f?
2 Antworten
... weil die Steigung an der Stelle x = 3 gesucht ist.
Die Gerade g(x) hat die Steigung m = -6.
P (3│f(3)) ist ein gemeinsamer Punkt von f und g. Es kann ein Schnittpunkt sein oder ein Berührpunkt.
Ist ein Schnittpunkt, dann haben f und g an der Stelle x = 3 unteschiedliche Steigungen.
Ist es ein Berührpunkt, dann haben f und g an der Stelle x = 3 die gleiche Steigung, denn die Tangente gibt die Steigung an.
Die Steigung der Geraden ist bekannt; es fehlt noch die Steigung von f an der Stelle x = 3.
Die Steigung ermitteltst Du mit der ersten Ableitung.
Also bildest Du die erste Ableitung von f und setzt x = 3 ein. Beträgt die Steigung an dieser Stelle -6, so hast Du den Nachweis, dass die Gerade g die Tangente an dieser Stelle ist.
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt x ist gerade die Steigung der Tangenten an diesem Punkt. Und in der Aufgabe ist ja nach der Tangenten gefragt. D.h. wenn f'(3) = -6 dann stimmt schon mal die Steigung der Tangenten mit der von g überein. Nun mußt du nur noch zeigen dass es auch den gemeinsamen Punkt gibt. Denn Geraden bei denen die Steigung und ein Punkt übereinstimmen sind identisch.
Woher weiß man, dass die Steigung gesucht ist?