Wie zufaellig sind die Nachkommastellen der irrationalen Zahl Pi?
5 Antworten
Auf den ersten Blick denken viele Menschen, dass die Nachkommastellen schön zufällig sind.
Viele Wissenschaftler stufen Pi zur Basis 10 auch als "normal" ein
https://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Zahl
(Beweis steht noch aus).
ABER für wissenschaftlichen Zufallsgenerator absolut ungeeignet!
a) Vorhersagbarkeit:
http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
findet man nicht nur 100 Algorithmen zur Berechnung,
sondern man kann mit den BBP-Algorithmen (ab §7 )
einzelne Hex-Stellen (also auch Bits einer Zahl) an beliebiger Stelle berechnen, ohne die Vorgänger zu kennen!
b) selbst mit großem Offset (oberhalb 1,2 Bio. Stelle) ist Pi nicht ideal zufällig:
https://www.heise.de/newsticker/meldung/Pi-nicht-zufaellig-genug-157927.html
c) http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm
würde ein Mensch zufällig Ziffern 0...9 erzeugen (egal ob per Tastatur, per Aufsagen oder wie auch immer), würde er nie die Zahlenfolge
A036903 hinbekommen! Das ist die Anzahl aller dezimalen Nachkommastellen einer mathematischen Konstante die benötigt werden, um alle n-stellige Zeichenketten (Zifferkombinationen) garantiert zu finden. So kann man bei Pi grob bestimmen, wieviel Stellen man braucht, um eine Ziffernfolge (z.B. 8stelliges Geburtsdatum 1816743912 Stellen) garantiert zu finden!
Was aber viel interessanter ist: Weltformel: schaut man genauer hin, findet man zig Zusammenhänge, denn unsere Welt besteht nicht aus "Schübfächern", sondern ist ein zusammenhängendes Gebilde, aus dem man keine einzelne Zahl wie Pi getrennt betrachten kann/darf:
- §3e1 & §3e2: feste Beziehung zu den Primzahlen
- feste Beziehung zur Fakultät (verschobene Gammafunktion):
Pi = (Gamma(-1/2)/2)^2 = ((-3/2)!/2)² = Gamma(1/2)² = (-1/2)!²
- §5.1 ff : feste Beziehung zum goldenen Schnitt und den Fibonacci Zahlen!
Beziehungen zu/mit e: §6d, §6f,
Pi = -log(-1)*i = Im(log(-1)) = arg(-1+0i) = -2*atan2(0,-1) = -4*atan(-1)
[durch Umstellung der Eulerschen Formel {Euler'sche Identität} e^(i*Pi)=-1]
zig physikalische Gesetze, die in der Schule zwar isoliert behandelt werden, aus Sicht der https://de.wikipedia.org/wiki/Weltformel
aber alle untrennbar miteinander verbunden sind.
Also die einzelnen Zahlenwerte der Nachkommastellen erscheinen ziemlich zufällig. Wenn du mehr zu diesen Thema wissen möchtest, kannst du dich noch mehr über die "Normalität" von Pi informieren.
Bewiesen ist die Normalität aber noch nicht. Somit könnte es sein, dass Pi irgendwann periodisch und damit vorhersehbar wird.
Andere Zufallszahlengeneratoren waren aber bei statistischer Analyse "zufälliger". Zudem ist die Berechnung von Pi aufwendig (Speicherplatz, langsame Rechenoperationen) ,sodass es bessere Möglichkeiten zur Erzeugung von Zufallszahlen gibt.
Wenn man sie jetzt nicht berechnet sondern ohne Kenntnis der Zahl Pi darin eine Regelmäßigkeit finden möchte dann erscheinen sie sehr Zufällig.
Dadurch, dass man die Zahl Pi aber kennt und damit eine Korrelation aus Pi mit den Zahlen herstellen kann, wird man schnell merken, dass es sich um Pi handelt, also in dem Sinne sind sie nicht zufällig.
Ich habe damit gemeint, man kann sie mit beliebiger Genauigkeit berechnen.
So wie Wurzel(2) oder Wurzel(3)
Würde man in der Mathematik davon ausgehen, dass man eine Zahl erst dann "kennt", wenn man alle ihrer unendlich vielen Dezimalstellen tatsächlich berechnet hat, dann wäre die Mathematik auf einem ziemlich armseligen Niveau stehen geblieben. Der wesentliche Kern von Mathematik steckt ja gerade darin, dass man lernt, mit abstrakten Objekten in logischer Weise umzugehen und exakte Schlüsse zu ziehen, ohne sich etwa ständig mit mühsamen bis unmöglichen Rechnereien herumschlagen zu müssen.
Zu dem Thema gibt es Internet-Seiten :
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html
Ansonsten wird das in dem Video auch angesprochen :
Die sind gar nicht zufällig
Die Zahl Pi hat eine ziemlich hohe Entropie, in so fern sind diese Nachkommastellen schon sehr Zufällig.
Als echten Zufall kann man sie aber dennoch nicht benützen, weil man Pi leicht berechnen kann und relativ schnell eine Korrelation finden kann und bestimmen kann, bei welcher Nachkommastelle der "Zufallsgenerator" gerade ist.
Für viele Montecarlo-Simulationen wäre die Dezimalentwicklung von Pi eigentlich schon absolut brauchbar. Aber es gibt viele "Zufallsgeneratoren" (für "Pseudo-Zufallszahlen"), die mit deutlich weniger Rechenaufwand mindestens ebenso gute Resultate liefern. Zum Zweck etwa einer Verschlüsselung wäre Pi aber eine ziemlich schlechte Wahl.
Wenn Pi unendlich viele zufällige Zahlen liefern würde, würde man unendlich viele Stellen haben, wo es genau diese Zahlenkombination gibt.
Das Problem ist halt, dass der "Startwert" vorgegeben. Man kann also nicht einfach so die billionste Stelle berechnen ohne die Stellen davor zu kennen.
Man kennt die Zahl Pi nicht, sondern nur
eine bestimmte Anzahl Ziffern von ihr.