Wie viel Mal muss man Münze werfen, um 4 Mal hintereinander nur Kopf oder nur Zahl zu bekommen?

Question

Mit einer Wahrscheinlichkeit >90%

LORDderANALYSE · Accepted Answer

(1 / 2)^{4} * x > 90%
1 / 16 * x > 90%
0,0625 * x > 90%
6,25% * x > 90% | :(6,25%)
x > 14,4

-> In mindestens 14,4 - oder in der Realit&auml;t mindestens 15 - W&uuml;rfen ist die Wahrscheinlichkeit vier mal hintereinander mit einer M&uuml;nze das gleiche zu werfen &uuml;ber 90% gro&szlig;.
(Die Pr&auml;misse daf&uuml;r ist, das es nur zwei m&ouml;gliche, gleich wahrscheinliche Ereignisse (Kopf oder Zahl) gibt, was in der Realit&auml;t aber nicht so ist. In der Realit&auml;t kann die M&uuml;nze z.B. auf den Rand landen.)

Jangler13 · Answer

Betrachten wir einen einfacheren Fall:Man gruppiert die geworfenen Münzen jeweils in 4er Gruppen, und schaut dann jeweils, ob alle 4 Münzen gleich sind.Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Münzen das gleiche zeigen ist 2*1/2^4 = 1/8Wir können die Anzahl der Versuche (also wie oft 4 Mal hintereinander geworfen werden muss) mit einer Geometrischen Verteilung modellieren:P(X=k) = p*(1-p)^(k-1)Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem wiederholten  Bernoulli Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p der erste Erfolg erst nach k Versuchen kommt.Hier ist p=1/8.Mit einem Online Rechner wie hier:https://www.emathhelp.net/calculators/probability-statistics/geometric-distribution-calculator/?n=18&p=1%2F8&t=onBekommt man dann Raus, dass P(X<18) <0.9 und P(X<=18) >0.9 gilt.In 90% der Fälle werden also 18 oder weniger Wiederholungen benötigt.Bzw wenn man mehr als 72 Mal die Münze wirft, dann ist die Wahrscheinlichkeit für 4 gleiche hintereinander mindestens 90%Es existiert jedoch eine geringere untere Schranke. Hier wurden nämlich immer 4er Gruppen betrachtet, das Ergebnis KKZZ ZZKZ würde zum Beispiel auch als 4 hintereinander zählen, wird jedoch bei den Gruppierungen nicht beachtet.Um diese Fälle zu beachten benötigt man jedoch mehr Aufwand, die Schranke 72 stimmt jedoch trotzdem (es gibt jedoch kleinere)

Gamer4214 · Answer

einfach am rechner eingeben. Den Münzwurf sollte er können. Versuche eingeben und wahrscheinlichkeit der versuchsausgänge eingeben.

LUKEars · Answer

also das Experiment geht so: Du wirfst x mal und wenn mindestens einmal 4-mal hintereinander das Gleiche kam, dann hast du gewonnen. Und jetzt willst du wissen, wie groß x sein muss, damit du eine Gewinn-WK von mindestens 0,9 hast.

Stimmt es soweit?

Da ich für sowas zu blöd bin, um es richtig zu machen, kann ich Dir nur ein Test-Programm anbieten... das nennt sich Monte-Carlo-Simulation...

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <unistd.h>
#include <inttypes.h>

void A(const uint32_t x) {
    const uint32_t C = 100*1000*1000;
    uint32_t win = 0;
    for (uint32_t l=C; l>0; l--) {
        uint8_t lst = 1;
        uint8_t cnt = 0;
        for (uint32_t i=x; i>0; ) {
            uint32_t r = random();
            for (uint32_t ii=31; i>0 && ii>0; i--, ii--, r>>=1) {
                const uint8_t now = (r&1) ? 1 : 0;
                if (lst!=now) { cnt=1; lst=now; }
                else { cnt++; if (cnt==4) { win++; i=0+1; } }
            }
        }
    }
    printf("%u games: %jd won --> %.3f%%\n",C,win,win*(1e2/C));
}

int main(int argc, char ** argv) {
    unsigned seed; read(0,&seed,sizeof(seed)); srandom(seed);
    A(atoi(argv[argc-1]));
    return 0;
}

durch oberpeinliches rumprobieren bin ich auf x=31 gekommen:

> c++ -o a a.c -O3 && dd if=/dev/urandom bs=4 count=1|./a 15
100000000 games: 64798034 won --> 64.798%
> c++ -o a a.c -O3 && dd if=/dev/urandom bs=4 count=1|./a 50
100000000 games: 98124261 won --> 98.124%
> c++ -o a a.c -O3 && dd if=/dev/urandom bs=4 count=1|./a 25
100000000 games: 84769982 won --> 84.770%
> c++ -o a a.c -O3 && dd if=/dev/urandom bs=4 count=1|./a 30
100000000 games: 89977006 won --> 89.977%
> c++ -o a a.c -O3 && dd if=/dev/urandom bs=4 count=1|./a 31
100000000 games: 90788148 won --> 90.788%

Wie viel Mal muss man Münze werfen, um 4 Mal hintereinander nur Kopf oder nur Zahl zu bekommen?

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