Wie vereinfache ich diesen Term?

Die Aufgabe ist es diesen Term zu vereinfachen:

x-y / √x + √y

Was ich weiß ist, dass Wurzel x = x^1/2 ist.
Was ich nur nicht verstehe ist, wie man den Bruch auflöst, wenn der Nenner und Zähler mit einem + und - verbunden sind. Wäre es ein * oder beides ein + könnte man ja einfach schreiben: x^-1/2 + y^-1/2 oder?

Answer 1

[tunik123]

Ich vermute, dass (x-y) / (√x + √y) gemeint ist.

Damit es übersichtlicher wird, setze ich √x = a und √y = b.

Dann haben wir (a² - b²) / (a + b) = a - b (wegen der dritten binomischen Formel)

Also ist (x - y) / (√x + √y) = √x - √y

Answer 2

[BorisG2011]

In den vorangegangenen Antworten wurde erklärt, dass du x - y unter Verwendung der dritten binomischen Grundformel so zerlegen kannst:

$x\ -\ y\ =\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\cdot\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$ Wenn du die rechte Seite in den Bruch einsetzt, kannst du im nächsten Schritt kürzen und enhältst das Ergebnis.

Interessanterweise gibt es einen zweiten Weg, das Ergebnis ebenfalls mit der dritten binomischen Grundformel zu erhalten. Dieser zweite Weg verwendet statt einer geschickten Faktorzerlegung eine geschickte Erweiterung des Bruchs. Gehe aus von

$\frac{x\ -y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ Erweitere nun mit x^(1/2) - y^(1/2):

$\frac{\left(x\ -\ y\right)\cdot\left(\sqrt{x\ }-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\cdot\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}$

Vereinfache den Nenner unter Verwendung der dritten binomischen Grundformel. Du erhältst:

$\frac{\left(x\ -\ y\right)\cdot\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{x-y}$ Jetzt kürzt du den Faktor x - y und hast das Ergebnis.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Answer 3

[HeniH]

Hi,

um diesn Term zu vereinfachen musst Du nicht wisssen, dass:

√x = x^(1/2) ist sondern lediglich folgende Formel anwenden können:

a² - b² = (a - b) * (a+ b)

Also:

LG,

Heni

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Habe Mathematik studiert.