Wie schwierig findet ihr folgende Aufgabe?

Aus einem kreisrunden Papierstück mit dem Radius R soll eine kegelförmige Popcorntüte hergestellt werden. Wie muss das Papier zugeschnitten und zusammengeklebt werden, wenn in die fertige Tüte möglichst viel Popcorn gefüllt werden soll?

Gerne euren Lösungsweg schreiben. Ich habe schon eine Lösung, würde mich aber für neue Lösungswege interessieren.

Answer 1

[mihisu]

Naja, einen Kreissektor kann man einfach zu einer entsprechenden Mantelfläche eines Kegels zusammenkleben.

Nun soll das Kegelvolumen...

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$

... möglichst groß werden, damit möglichst viel Popcorn in die Tüte passt.

Des Weiteren gilt:

$b=\alpha\cdot R \quad \text{(mit }\alpha\text{ im Bogenmaß)}$

$b=2\pi\cdot r\quad \rightarrow\quad r=\frac{b}{2\pi}=\frac{\alpha\cdot R}{2\pi}$

$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac{\alpha\cdot R}{2\pi}\right)^2}=\sqrt{\left(2\pi\right)^2-\alpha^2}\cdot \frac{R}{2\pi}$

Damit erhält man dann:

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$

$=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \left(\frac{\alpha\cdot R}{2\pi}\right)^2\cdot \sqrt{\left(2\pi\right)^2-\alpha^2}\cdot \frac{R}{2\pi}$

$=\frac{\pi}{3}\cdot \left(\frac{R}{2\pi}\right)^3\cdot \alpha^2\cdot \sqrt{\left(2\pi\right)^2-\alpha^2}$

Neben R (als konstant gegeben) hängt dieser Term für das Volumen dann nur noch vom Winkel α ab. Man kann nun das Maximum der entsprechenden Funktion bzgl. α finden, indem man zunächst die Nullstellen der Ableitung bzgl. α betrachtet.

$\frac{\text{d}V}{\text{d}\alpha}=\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac{R}{2\pi}\right)^3\cdot\left(2\alpha\cdot \sqrt{\left(2\pi\right)^2-\alpha^2}+\alpha^2\cdot \frac{-2\alpha}{2\cdot \sqrt{\left(2\pi\right)^2-\alpha^2}}\right)$

$=\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac{R}{2\pi}\right)^3\cdot\frac{2\alpha\cdot \left(\left(2\pi\right)^2-\alpha^2\right)+\alpha^2\cdot \left(-\alpha\right)}{\sqrt{\left(2\pi\right)^2-\alpha^2}}$

$=\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac{R}{2\pi}\right)^3\cdot\frac{2\alpha\cdot\left(2\pi\right)^2-2\alpha^3-\alpha^3}{\sqrt{\left(2\pi\right)^2-\alpha^2}}$

$=\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac{R}{2\pi}\right)^3\cdot\frac{2\alpha\cdot\left(2\pi\right)^2-3\alpha^3}{\sqrt{\left(2\pi\right)^2-\alpha^2}}$

$\frac{\text{d}V}{\text{d}\alpha}=0\quad \Leftrightarrow\quad 2\alpha\cdot \left(2\pi\right)^2-3\alpha^3=0$

$\Leftrightarrow\quad \alpha\cdot \left(2\cdot \left(2\pi\right)^2-3\alpha^2\right)=0$

$\Leftrightarrow\quad \alpha=0\ \vee\ 2\cdot \left(2\pi\right)^2-3\alpha^2=0$

$\Leftrightarrow\quad \alpha=0\ \vee\ 3\alpha^2=2\cdot \left(2\pi\right)^2$

$\Leftrightarrow\quad \alpha=0\ \vee\ \alpha^2=\frac{2}{3}\cdot \left(2\pi\right)^2$

$\Leftrightarrow\quad \alpha=0\ \vee\ \alpha=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot 2\pi$

$\Leftrightarrow\quad \alpha=0\ \vee\ \alpha=-\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot 2\pi\ \vee\ \alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot 2\pi$

Die negative Lösung kommt nicht in Frage, da das nicht zum Sachverhalt passt. Bei α = 0 liegt offensichtlich ein Minimum mit V = 0. Bei α = √(6)/3 ⋅ 2π erhält man das gesuchte Maximum.

Funktionsgraph zur Veranschaulichung...

Jedenfalls sollte man aus dem Papier einen Kreissektor mit Winkel α = √(6)/3 ⋅ 2π (im Bogenmaß) bzw. α = √(6)/3 ⋅ 360° ≈ 294° (im Gradmaß) ausschneiden und diesen Kreissektor an den Schnittlinien zusammenkleben.

[In der Praxis bietet es sich evtl. an, nicht genau diesen Kreissektor auszuschneiden, sondern noch zusätzlich entsprechende Klebelaschen stehen zu lassen, an denen man das dann besser zusammenkleben kann.]

In der Praxis könnte man noch beispielsweise folgende Dinge beachten, die sich aber nicht so genau berücksichtigen lassen, da dafür noch weitere Angaben fehlen.

• Darf das Popcorn überstehen? Dann könnte man evtl. überlegen, ob man die Öffnung der Tüte nicht noch etwas größer macht, damit man mehr Fläche hat, auf der sich das Popcorn stapeln lässt.
• Das Popcorn ist keine homogene Masse, sondern die einzelnen Körner haben eine gewisse Größe und man hat Luft in den Zwischenräumen. Evtl. passt in der ermittelten theoretisch optimalen Größe ein Popcorn gerade so nicht hinein. Wenn man die Tüte jedoch leicht variiert, also beispielsweise den Winkel α ein wenig kleiner macht, könnte es sein, dass man den Kegelradius r etwas verringert, was aber vielleicht nichts ausmacht, da dort sowieso gerade kein Popcorn-Teilchen mehr Platz hat, dafür aber andererseits die Kegelhöhe h etwas größer wird, und dann dort doch noch ein Popcorn-Teilchen reinpasst, was vorher gerade so nicht reingepasst hat.

Comments

[ChrisGE1267]

Da brauche ich ja meine eigenen handschriftlichen Rechnungen gar nicht mehr rauszukramen - die Lösung ist druckreif - wenn ich der Fragesteller wäre, würdest Du einen Stern bekommen… :-)

[kleinesHuhn596]

Sehr anschaulich, danke!

Answer 2

[ChrisGE1267]

Das ist eine Minimax-Aufgabe: Du musst in Abhängigkeit vom Scheitelpunkt phi des Tortenstückes, das Du aus dem Kreis ausschneidest, das Volumen des Kegels berechnen, der sich ergibt, wenn man den Rest der Kreisfläche an ihren Enden wieder zusammenklebt. Dieses Volumen in Abhängigkeit von phi lässt sich durch Ableiten maximieren.

Ich hab das irgendwann schon mal berechnet, wenn es Dich interessiert, kann ich die Rechnung raussuchen…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 3

[gregor443]

Fast als Rechteck mit der kleineren Seitenlänge ~ r.

Answer 4

[10tel]

Ich denke, das Prinzip ist klar, nur mit Formeln habe ich es nicht so.

Ein Schnitt vom Rand zum Mittelpunkt. Dann kann man das Papier beliebig weit überlappen. Die Seitenlänge des Kegels ist fest, der Umfang variiert.

Demnach kann man für jeden Umfang das Volumen berechnen und das Maximum ist die Lösung. Über den Daumen gepeilt würde ich sagen, der Winkel in der Spitze müsste 90° sein. Mit Haufen drauf würde ein größerer Winkel mehr Popcorn fassen.