Wie schreibe ich eine permutation als Produkt elementarer Transpositionen?
Hey! Ich habe eine prinzipielle frage. Meine Aufgabe ist: schreiben Sie alle permutationen ¥(so nenn ich es jetzt einfach) € S3 als Produkt elementarer Transpositionen.
Ich brauch gar keine komplettlösung, meine Frage zieht eher auf das Prinzip aus. Heisst das ich soll nun 2 Permuationen verketten, die dann zusammen mein ¥ ergeben? Also in der art: ¥=Permutation1 ○ Permuation2? Oder was bedeutet es, wenn man es als Produkt elementarer Transpositionen schreiben soll? Verstehe das Prinzip noch nicht ganz, wenn ich das erklärt bekommen würde, könnte ich mich sicher an die konkrete Aufgabe machen, danke schonmal!
2 Antworten
Eine Transposition ist die Vertauschung zweier Elemente.
Jede Permutation kann als Produkt (d.h. Verkettung) von Transpositionen dargestellt werden.
Da du es mit S3 zu tun hast, geht es nur um 3 Elemente und 6 Permutationen. Für jede dieser Permutationen solltest du mit maximal drei Transpositionen hinkommen (glaube ich).
Sowohl Verkettung als auch Produkt, ein Matrizenprodukt nämlich.
Jede Permutation ist eine lineare Abbildung, lässt sich also durch eine quadratische Matrix darstellen.
Eine Permutationsmatrix ist stets orthogonal, das bedeutet, sie ist quadratisch und hat die Determinante 1 ( wenn sie gerade sind) oder -1 ( wenn sie ungerade sind).
Die Inverse - die es immer gibt - ist einfach die Transponierte der Permutationsmatrix.
Eine elementare Transposition ist eine spezielle Permutation, die immer ungerade ist. Sie entspricht einer Einheitsmatrix, bei dir einfach zwei Zeilen beziehungsweise zwei Spalten vertauscht wurden.