Hallo zusammen.
Ich habe seit gestern ein sehr dickes Brett vor dem Kopf und kann den Knoten einfach nicht lösen… Ich bin nun schon seit 5 Jahre mit dem Mathematik Studium fertig und habe mich gestern mal wieder mit den zwei Cantor‘schen Diagonalargumenten beschäftigt, weil ich einfach daran denken musste.
Zur Frage:
Das zweite Diagonalelement hatte Cantor ja benutzt, um die Annahme „Die Menge Teilmenge (0;1) von R ist abzählbar unendlich“ zu widerlegen. Hierbei wurde ja folgendermaßen vorgegangen: Angenommen die Teilmenge (0;1) von R wäre abzählbar unendlich, dann gäbe es ja eine Bijektion von N auf diese Menge. Nun konstruiert man ja eine neue Zahl, indem man die n-te Nachkommastelle der n-ten Dezimalzahl in der unendlich langen Liste abändert und nun sagt: Diese neu konstruierte Zahl unterscheidet sich wegen diesem Konstruktionsverfahren ja von allen Zahlen auf der Liste, und muss somit neu sein. Daraus wird ja die Überabzählbarkeit von R geschlussfolgert.
Nun möchte ich mal das zweite Cantorsche Diagonalverfahren auf eine (offensichtlich) abzählbar unendliche Teilmenge von Q anwenden und zeigen, dass die neu konstruierte Zahl nicht neu ist.
Betrachte folgende Zahlenfolge:
0,4
0,38
0,388
0,3888
….
Nun konstruiere ich die „neue“ Zahl 0,399999….
Diese Zahl unterscheidet sich offensichtlich an jeder i-ten Nachkommastelle von jeder i-ten Dezimalzahl in der obigen Liste. Allerdings ist diese Zahl ja das gleiche wie 0,4 (vgl. geometrische Reihe) also ist sie nicht neu.
Ich frage mich also: Wie kann man mit dem 2. Diagonalargument aus der Tatsache, dass eine neu konstruierte Zahl eine „andere Ziffernfolge“ hinter dem Komma hat ableiten, dass es dann auch eine neue Zahl sein soll? Mein Beispiel zeigt ja, dass die neu konstruierte Zahl eine vollkommen andere Ziffernfolge hat, aber eigentlich das gleiche wie die erste Zahl der Liste ist.
Ich möchte bitten, dass nur wirklich mathematisch Ausgebildete mir bei dieser Frage weiterhelfen. Wer alleinig schon die Tatsache 0,99999… = 1 in Frage stellt, braucht gar nicht zu antworten…
By the way: Ich selbst habe einen Master in Wirtschaftsmathematik
Danke schon im Vorraus für eure Antworten! Ich hoffe ihr löst meinen Knoten :D
