Wie löse ich diese Aufgabe (stereometrie, Sechseckpyramide)?
von einer regelmäßigen sechseckpyramide sind die mantelfläche M= 145 cm und die Oberfläche O= 205 cm gegeben. Berechne den umfang eines Seitenflächendreiecks.
2 Antworten
Wenn die Mantelfläche M = 145cm² und die gesamte Oberfläche O = 205cm² groß ist, so ist die Grundfläche G = 205cm² - 145cm² = 60cm² groß.
Die Grundfläche entspricht einem regelmäßigen Sechseck, also können wir damit auf die Seitenlänge a schließen:
60 = 3/2 * a² * √3 ⇔ a = √(60/√3 * 2/3) = 2√10/∜3 ≈ 4,81 [cm]
Die Grundfläche setzt sich aus sechs gleichschenkligen Dreiecken zusammen, deren Grundseite der Seitenlänge a des Sechsecks entspricht.
Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks teilt dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke, an denen wir den Satz des Pythagoras anwenden können (Höhe h, Grundlinie a und Schenkel b):
(a/2)² + h² = b² ⇔ h = √(b² - a²/4)
Der Flächeninhalt dieses gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich so:
A = 1/2 * a * h
Du kannst h nun einfach in die Flächeninhaltsformel einsetzen:
A = 1/2 * a * √(b² - a²/4)
a und A kennen wir, also sollten wir nach b auflösen:
A = 1/2 * a * √(b² - a²/4)
2A/a = √(b² - a²/4)
4A²/a² = b² - a²/4
4A²/a² + a²/4 = b²
b = √(4A²/a² + a²/4)
A ist die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks. 6A ist somit der Flächeninhalt der Mantelfläche.
Also: 6A = 145cm² ⇔ A = 145/6 cm²
Wir können nun A und a in die Formel einsetzen und damit b berechnen:
b = √(4A²/a² + a²/4) für a = 4,81 [cm] und A = 145/6 [cm²]
b = √(4*(145/6)²/4,81² + 4,81²/4) ≈ 10,33 [cm]
b ist der Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks, a die Grundlinie, also gilt:
U = 2b + a ≈ 2*10,33 + 4,81 = 25,47 [cm]
Und damit haben wir den Umfang eines Seitendreiecks bestimmt: U ≈ 25,47 [cm].
LG Willibergi
http://www.mein-lernen.at/component/content/article?id=2337
hier ist alles, was du brauchst;
O-M=G
dann mt G-Formel a berechnen;
dann ha
dann s
2•s + a ist die Lösung