Wie lautet ein Term der Funktionen deren Graph genau zwei Extrempunkte hat?
2 Antworten
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Man kann sich so eine Funktion recht leicht konstuieren, wenn das Integrieren bekannt ist ("ableiten rückwärts").
Beispiel: Extrempunkte bei x=1 und -1 bedeutet, die Ableitung muss dort 0 sein, also:
(x-1)(x+1)=0 <=> x²-1=0, d. h. f'(x)=x²-1
Diese Ableitung jetzt integrieren, ergibt als Funktionsterm: f(x)=1/3x³-x [+C]. Diese Funktion (egal welche Konstante hinten noch dranhängt) hat bei x=1 und x=-1 ihre einzigen Extremstellen.
Damit überhaupt 2 Extremstellen exisitieren können, muss es mindestens eine Funktion dritten Grades (oder eines höheren ungeraden Grades) sein. Das heißt aber nicht, dass jede Funktion 3. Grades auch 2 Extremstellen hat. Sie kann auch keine haben, dann hat sie nur eine Wendestelle (eine Extremstelle ist unmöglich).
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Mindestens 3. Grad
und noch ein Term dabei.
Soll es irgendeine sein, dann z.B.
f(x) = x³ + x²
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Die Punkte dürfen ja nicht zusammenfallen.
Bei x³ entsteht nur ein Sattelpunkt.
Wenn der Grad > 3 ist und der Funktionsverlauf normal, gibt es schon 3 Extrempunkte.
Durch das +x² entstehen die "Buckel" in der Funktion.
+x reicht nicht.
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Würde nur x^3 also nicht gehen, oder x^5? Danke nebenbei:)
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x³, x^5, x^7 usw. hätten jeweils einen Sattelpunkt, sonst nichts. Die würden also alle nicht gehen
ohne irgendetwas dabei.
Also mit Potenzen ungerade Zahl oder? Wie lässt sixh das begründen?