Wie komme ich bei der Aufgabe auf die richtige Lösung (Physik, Rotation, Energie)?
Die Aufgabe lautet:
Ein Hohlzylinder (dünnwandig) und eine Kugel rollen von der Höhe h = 2m eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel 25° hinunter. Beide Körper haben einen Radius von 5cm und sind 1 kg schwer. Welche Arten von Energie spielen eine Rolle? Kommen die beiden Körper gleichzeitig unten an? Wie groß ist ihre Geschwindigkeit unten?
Die Lösung findet sich im angehängten Bild.
Nun meine Frage wie komm ich auf Kugel =2/5 und daraus resultierend auf die Formel für die Geschwindigkeit v und das Ergebnis?
Dankeschön schon mal für eure Hilfe
4 Antworten
Zu den Zahlenwerten vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment#Haupttr.C3.A4gheitsmomente_einfacher_geometrischer_K.C3.B6rper
Zur Berechnung im Fall der Vollkugel vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment#Beispielrechnung:_Tr.C3.A4gheitsmoment_der_homogenen_Vollkugel (Da in den Tags "Schule" steht, kann es sein, dass ihr noch nie mit Mehrfachintegralen und Koordinatentransformationen in Kugelkoordinaten zu tun hattet - dann sind die 2/5 einfach ein Wert, den man aus einer Tabelle abliest.)
Der Wert von 2/5 bei Kugel und 1 beim Holgzylinder kommen aus den Trägheitsmomenten der Körper, die man aber mit Schulmitteln eher nicht berechnen kann, man liest die Werte ab. Allerdings sieht man rein qualitativ ein, dass die Kugel schneller ist. Beim Holgzylinder steckt die Masse weiter außen als bei der Kugel, daher steckt mehr Energie in der Rotation und weniger in der kinetischen Energie.
Das f ist der Faktor beim Trägheitsmoment. Dieser ist
bei einer Kugel eben 2/5
bei einem Hohlzylinder 1
bei einem massiven Zylinder 1/2
siehe Physik-Formelbuch "Rotationsenergie"
Massenträgheitsmoment Zylinder dünnwandig Jz=m*r²=1 kg*0,005²=2,5*10^(-3) kg m²
Massenträgheitsmoment der kugel Jk=2/5*m*r²=2/5*1 kg*0,05^2=1*10^(-3)
Rotationsenergie ist Erot=1/2*J*w^2
Energieerhaltungssatz Epot=Ekin+Erot=1/2*m*V^2+1/2*J*w^2
Epot =Fg*h=m*g*h=1 kg*9,81 m/s²*2 m=19,62 J (Joule)
Wir sehen,das der Hohlzylinder ein höheres Massenträgheitsmoment hat und deshalb hat der Hohlzylinder eine geringere Drehzahl als die kugel um Epot zu erreichen.
Also ist die kugel schneller unten,weil sie sich schneller drehen muss ,als der Hohlzylinder.
a. Energiebeteiligung ist Epot=m*g*h potenzielle Energie (Lageenergie)
Ekin=1/2*m*V² ist die kinetische Energie (geradlinige Bewegungsenergie)
Erot=1/2*J*w² Rotationsenergie
Zylinder Epot=1/2*m*V^2+1/2*Jz*w^2 mit V=U*n=2*r*pi*n und w=2*pi*n
m*g*h=1/2*m*(2*r*pi*n)^2+1/2*m*r²*(2*pi*n)² das m kürzt sich heraus
g*h=0,5*4*r²*pi²*n²+0,5*4*pi²*n²
g*h=4*r²*pi²*n² ergibt n=Wurzel(g*h/(4*r²*pi²))=9,81*2/(4*0,05²*pi²)=14,099 s^(-1)
Geschwindigkeit des Zylinders Vz=U*n=2*r*pi*n=2*0,05*pi*14,099=4,429 m/s
selbe Rechnung mit der Kugen
Eopt=m*g*h=1/2*m*V^2+2/5*m*w^2 auch hier kürzt sich m heraus
g*h=0,5*V^2+2/5*w^2 mit w=2*pi*n und V=2*r*pi*n
den Rest schaffst du selber .Ich habe für die Drehzahl der Kugel n=16,85 s^(-1) heraus.
Geschwindigkeit der Kugel V=2*r*pi*n=2*0,05*pi*16,85=5,29 m/s
prüfe auf Rechen-u. Tippfehler.
Also ist das immer so?