Wie kann man diesen Satz zu Primzahlen beweisen?
Erinnern Sie sich, dass eine Zahl p ∈ N \ {1} genau dann Primzahl heißt, wenn sie genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Beweisen Sie folgenden Satz:
Sei p ∈ N \ {1, 2} eine Primzahl. Dann gibt es k ∈ N0, sodass p = 4k + 1 oder p = 4k + 3
3 Antworten
Jede ungerade Zahl m = 2n + 1 hat entweder die Darstellung m = 2*(2k) + 1 = 4k + 1 oder m = 2*(2k + 1) + 1 = 4k + 2 + 1 = 4k + 3.
Da muss man nichts mehr beweisen - m = 2n + 1 ist die Definition einer ungeraden Zahl; das n in der Darstellung kann dann selbst wieder entweder gerade oder ungerade sein…
Mit vollständiger Induktion würde es gehen, soviel Aufwand ist aber gar nicht erforderlich.
ok danke, aber warum wird dort jeweils mit 2 multipliziert ? Also jeweils "2*(2k) + 1" und " 2*(2k + 1) + 1" ? Einfach nur um auf die gewollte Form von p = 4k + 1 und p = 4k + 3 zu kommen?
Nein, weil jede Division einer ganzen Zahlen durch 2 entweder Rest 0 oder 1 ergibt - die Zahlen mit Rest 0 bilden die Menge der geraden Zahlen, die mit Rest 1 die der ungeraden Zahlen. Somit hat jede ungerade Zahl die Darstellung 2n + 1, wobei dann n selbst wieder gerade oder ungerade sein kann…
Eine Zahl p ∈ N hat immer eine Darstellung der Form
p = 4k + r,
wobei k ∈ N0 und r = 0, 1, 2 oder 3 sein kann.
Das ist ganz einfach die Division durch 4 mit Rest.
Die Reste 2 und 4 kann man aber bei Primzahlen ausschliessen, da diese zu geraden Zahlen p gehören, die (ausser der ausgeschlossenen 2) keine Primzahlen sind, man kann ja eine 2 ausklammern.
Das war's schon.
Du zeigst , dass jede Primzahl p>2 eine ungerade Zahl ist, und dann zeigst Du dass die Aussage Dann gibt es k ∈ N0, sodass p = 4k + 1 oder p = 4k + 3 für jede beliebige ungerade Zahl gilt.
Und wenn Du das geschafft hast, beweist Du
Sei p ∈ N \ {1, 2} eine Primzahl. Dann gibt es k ∈ N0, sodass p = 6k + 1 oder p = 6k + 3 oder p = 6k + 5
Ah okay danke und wie könnte man das beweisen? Mit Induktion ?