Warum ist 30031 keine Primzahl?
Eigentlich ist doch jede Zahl, für welche folgendes gilt, eine Primzahl: M=p1*p2*...pn+1 (p steht für Primzahl). Dies folgt meines Erachtens nach aus dem Satz von Euklid. Die Zahl M ist entweder eine Primzahl oder eben keine. Wenn es keine ist, muss es durch wenigstens einen Primfaktor teilbar sein, dies aber wegen der 1.
Dieses Muster geht bis zu 2*3*5*7*11+1 auch auf, aber bei 2*3*5*7*11*13+1 nicht mehr. 2*3*5*7*11*13+1= 30031. Wenn ich die Zahl 30031 in so einen Primzahlen-Test eingebe, kommt da raus, dass es sich dabei um keine Primzahl handelt, weil sie irgendwie noch die 59 und was anderes als Teiler hat.
Wie kann das sein?
2 Antworten
Der Beweis besagt nur, dass es keine Endlich viele Primzahlen geben kann, da p1*...pn+1 nicht durch p1, p2 etc teilbar ist.
Das bedeutet NICHT dass die Zahl Prim ist, sondern dass es mindestens eine weitere Primzahl geben muss, die das Produkt plus 1 teilt.
Leseverständnis hilft.
Lies den Abschnitt der DIREKT danach steht. Denn da steht, dass der kleinste Teiler dieser Zahl (ohne 1) eine Primzahl ist.
Hier:
Das Symbol {\displaystyle \textstyle \prod }{\displaystyle \textstyle \prod } ist das Produktzeichen. Wegen {\displaystyle n>1}n>1 gibt es einen kleinsten Teiler {\displaystyle d>1}d > 1 von {\displaystyle n}n. Dieser ist notwendigerweise eine Primzahl und teilerfremd zu {\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{k}}{\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{k}}. Daher ist mit {\displaystyle d}d eine neue Primzahl gefunden.
Dies folgt meines Erachtens nach aus dem Satz von Euklid.
Wie kann das sein?
Deine Schlussfolgerung ist falsch.
Was soll ich erklären? Du hast ein Gegenbeispiel gefunden und deine Vermutung somit widerlegt. Warum du der Meinung bist, dass deine Aussage aus dem Satz von Euklid folgt, müsstest eher du erklären.
Folgendes steht auf Wikipedia: Der Beweis des Satzes des Euklid zeigt eine Möglichkeit auf, wie aus einer oder mehreren vorgegebenen Primzahlen {\displaystyle p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{k}} mindestens eine weitere Primzahl berechnet werden kann. Dazu bildet man das Produkt dieser Zahlen und addiert 1 zu dem Produkt, also
Und warum das meiner Meinung nach aus dem Satz des Euklid folgt: Euklid führt einen Widerspruchsbeweis und behauptet somit zuerst, dass es endlich viele Primzahlen gibt. Er multipliziert alle Primzahlen und addiert schließlich 1. Diese Zahl ist entweder eine Primzahl, oder es ist keine. Wenn es keine wäre, müsste sie mindestens durch eine Primzahl teilbar sein (Fundamentalsatz der Arithmetik), dies kann aber nicht sein, weil ja noch die 1 hinzuaddiert wurde. Also ist es eine Primzahl. Der ganze Beweis fußt doch also darauf, dass M=p1*p2*...pn+1 eine Primzahl ist
"dies kann aber nicht sein, weil ja noch die 1 hinzuaddiert wurde"
Falsch, die Teiler von M, welche ungleich den Primzahlen sind, enthalten die fehlende Primzahl.
dies kann aber nicht sein, weil ja noch die 1 hinzuaddiert wurde.
Die Addition von 1 führt nur dazu, dass die neue Zahl durch keinen der anfangs gewählten Primzahlen teilbar ist. Falls die neue Zahl keine Primzahl ist, erhält man durch Bestimmung der Primfaktoren eine Primzahl, die nicht in der ursprünglichen Menge der Primzahlen enthalten ist. Daraus schlussfolgert Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Hast recht, unser Lehrer hat uns das heute so erklärt, dass M auf jeden Fall eine Primzahl sein muss, und es daher unendliche viele Primzahlen gibt. Aber ja, hab jetzt nochmal den Wikipedia Artikel gelesen und es jetzt verstanden. Bin lost.
Der Beweis des Satzes des Euklid zeigt eine Möglichkeit auf, wie aus einer oder mehreren vorgegebenen Primzahlen {\displaystyle p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{k}} mindestens eine weitere Primzahl berechnet werden kann. Dazu bildet man das Produkt dieser Zahlen und addiert 1 zu dem Produkt, also
{\displaystyle n:=p_{1}p_{2}\dotsm p_{k}+1=\prod _{i=1}^{k}p_{i}+1.}