Wie kann man das KRÜMMUNGSVERHALTEN einer Funktion (Ableitung usw.) OHNE Skizze oder Zeichnung bestimmen?
Heut in der Schule, meinte ich dass man dafür einfach die Ableitungen also erste und zweite machen müsste, dann nullsetzen um die x werte zu bekommen und anschließend teilintervalle also je nachdem wie viele nullsellen man rausbekommen hat.
hat man beispielsweise x1=0 raus und x2=4,
so meinte ich dass man dann die Intervalle 1(-unendlich bis 0) , 2(0 bis 4) und 3(4 bis unendlich), bildet.
dann nimmt man für jedes Intervall einen Wert der zwischen den Grenzen liegt, also bei Intervall 1 zum Beispiel -1 oder -2 usw. und bei Intervall 2 zum Beispiel 1 oder 2 usw. und bei Intervall 3 zum Beispiel 5 oder 6 usw.
dann setzt man den jeweiligen Wert den man genommen hat in die zweite Ableitung ein und sieht ja dann ob ein Wert größer oder kleiner null rauskommt.
und dann weis man ja automatisch ob der Graph links oder rechtsgekrümmt ist.
weshalb meinte mein Lehrer dass das falsch sei? Ich kann mir nicht vorstellen dass das falsch wäre.
oder wo liegt der Fehler?
4 Antworten
Sag deinem Lehrer, er solle nochmal auf die Uni gehen, das Verfahren ist absolut korrekt, allerdings etwas umständlich, denn wenn du schon die Nullstellen der zweiten Ableitung ausrechnest, dann rechne doch einfach noch den Wert von f'''(x_0) aus. Ist dieser Wert positiv, so ändert sich die Krümmung an dieser Stelle von rechts nach links, ist der Wert negativ von links nach rechts, ist er gar Null liegt kein Krümmungswechsel vor.
Dieses als auch dein Verfahren hat allerdings einen Nachteil, dass es Funktionen gibt, deren Graphen keine Wendestellen haben. Dann versagt dieses Verfahren.
Zur Übung:
Welche Krümmung hat der Graph der Funktion f(x)=1/x?
Danke rechne ich gleich aus:)
Muss nur noch kurz Pause machen 😅👍🏻
Habe als zweite Ableitung 2x hoch minus 3 raus.
dann zweite Ableitung null gesetzt.
für x kam 0raus
dann Intervall von minus unendlich bis 0 habe den Wert (-1) gewählt dann kam -2 raus. Da minus 2 kleiner ist als 0 ist der Graph in diesem Intervall rechtsgekrümmt.
anderes Intervall halt 0 bis unendlich dann wert 1 genommen, da der halt in diesem Intervall liegt, kam 2 raus da 2 Gr. Ist als 0 ist der Graph im 2 Intervall links gekrümmt.
wahrscheinlich ist x dann eine wendestelle oder?
yeah but der erste Teil der exercise is correct?
Schreib ein konkretes Beispiel hin mit deinem Rechenweg.
Bei deiner Problembeschreicung KANN es sein, dass du das Richtige meinst, es kann aber auch sein, dass du völlig daneben liegst. Dazu lässt dein Geschreibe zu viel Interpretationsspielraum.
Du brauchst die Wendepunkte, d. h. 2. Ableitung Null setzen und prüfen, ob 3. Ableitung ungleich Null ist. Dann setzt Du einen x-Wert in die 2. Ableitung ein, der links vom ersten Wendepunkt liegt, um die Krümmung vor dem ersten Wendepunkt zu bestimmen. Danach wechselt die Krümmung an jedem Wendepunkt, du musst also nicht die Krümmung für jedes Intervall von Wendepunkt zu Wendepunkt ermitteln.
einfach aus dem Mathe-Formelbuch abschreiben,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,Differentialgeometrie
Krümmung k=y´´/((1+(y´)²)^(3/2))
k<0 von oben gesehen konvex (Rechtskrümmung)
k>0 konkav (Linkskrümmung)
y´´=f´´(x)=2.te Ableitung der Funktion y=f(x)=...
k=f´´(x)/(...)<0 Rechtskrümmung also f´´(x)<0
k=f´´(x)/(...)>0 Linkskrümmung also f´´(x)>0
probier´s aus mit y=f(x)=0,5*x² oder mit y=f8x)=2*x³+1*x²-3*x+1
Nenene, diese Kurve hat keine Wendestelle, den 2/x^3 kann nie null werden.