Ist ein Terassenpunkt auch ein Wendepunkt?
Hallo,
ich frage mich ob ein Terassenpunkt auch ein Wendepunkt ist. Ich bin mir da etwas unsicher. Das Krümmungsverhalten ändert sich bei einem Terassenpunkt ja, und die zweite Ableitung ist dort 0, aber im Terassenpunkt ist ja auch die erste Ableitung 0.
Weiß jemand, was das jetzt genau für den Graphen bedeutet und ob ein Terassenpunkt auch ein Wendepunkt ist?
Wann ist die Änderungsrate minimal und wann ist sie maximal?
Kennt jemand eine Funktion mit nur einem Tiefpunkt und einem Terassenpunkt?
Vielen Dank im Vorraus für Antworten :)
6 Antworten
Zur ersten Frage:
Ja, Sattelpunkte sind Wendepunkte, da die Änderungsrate der Steigung an dieser Stelle (lokal) am höchsten ist.
Das besondere ist nur, dass die Ableitung an der Stelle 0 ist.
Beim Graphen bedeutet es für beides, dass sich das Krümmungsverhalten an dieser Stelle ändert. Sattelpunkte erkennst du zusätzlich, dass an dem Punkt die Tangente parallel zur x-Achse ist, und dass das Monotonie erhalten beibehalten wird (also dass die Funktion weiter steigt/fällt)
Die Änderungsrate ist dann Maximal, wenn die dritte Ableitung an der Stelle Negativ ist, für die Minimale Steigung ist es umgekehrt.
Doch Vorsicht:
Es kann sein, dass die 3. Ableitung auch 0 ist, es bedeutet nicht, dass die Funktion da keinen Wendepunkt hat, da die Bedingung nur Hinreichend ist.
Bei dem Fall müsstest du noch die nächst höheren Ableitungen betrachten, bis du die Ableitung erreichst, die ungleich 0 ist. (Oder bis das Polynom vorher verschwindet)
Ist die erste Ableitung, die ungleich 0 ist ungerade (z.b 5. Ableitung), dann hast du da einen Wendepunkt, ist sie gerade hast du hingegen einen Extrempunkt.
Eine Funktion mit Sattelpunkt und Tiefpunkt wäre x^4/4+x^3/3, wobei bei x=-1 der Sattelpunkt ist und bei x=0 see Tiefpunkt
Bedingung Sattelpunkt f´´(x)=0 und f´´´(x)≠0 und f´(x)=0
Der Sattelpunkt (nennt man auch Stufenpunkt oder Terrassenpunkt) ist ein besonderer Wendepunkt,bei dem die Tangentensteigung f´(x)=m=0 ist.Diee Tangente im Terrassenpunkt liegt somit parallel zur x-Achse.
Funktion y=f(x)=1/3*x³-4*x²+16*x Terrassenpunkt bei x=4 keine Extrema
hier Infos,vergrößern und/oder herunterladen
Es gibt einen Unterschied zwischen Hinreichenden Bedingungen und notwendigen Bedingungen.
Die Notwendige Bedingung ist, dass die zweite Ableitung 0 ist
Dass die dritte Ableitung ungleich 0 ist, ist nur hinreichend, nicht notwendig.
Gegenbeispiel: x^(2k+1)
Für jedes k hat diese Funktion an x=0 einen Wendepunkt. Ist jedoch k>1 ist f'''(0)=0
Stattdessen muss betrachtet werden, bei der Wievielten Ableitung der Wert nicht 0 ist.
Ist es die 2k. Ableitung, dann ist es ein Extrema
Ist es die 2k+1. Ableitung ein Sattelpunkt
Guck dir doch einfach den Graphen einer Funktion mit einem Sattelpunkt an und guck dir den Kurvenverlauf an.
Stell dir einfach vor du wärst ein Auto und würdest auf dem Graphen fahren. Dann überleg in welche Richtung du lenken müsstest.
Naja, die Linkskrümmung wird zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt. Aber macht es das per Definition auch zu einem Wendepunkt? Wäre die Änderungsrate da maximal oder minimal? Irgendwie verstehe ich den Unterschied nicht. Heißt minimal, dass der Graph da am steilsten nach unten geht, oder heißt es, das es ein Sattelpunkt ist?
Funktion der Änderungsrate ist f´(x)=m
Extrema der Funktion der Änderungsrate somit bei f´´(x)=0=.... (Maximum/Minimum)
und f´´´(x)=...
Falls die Änderungsrate 2 Extrema besitzt,so müssen auch 2 Terrassenpunkte vorliegen
also f´´(x)=0=.... muß eine quadratische Funktion sein,Parabel
Das heißt, ein Terassenpunkt liegt immer dann vor, wenn die Ableitung einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat, der genau auf der x-Achse liegt?
Das ist nur eine Berechnung der Steigung an der Funktion f(x)=..
Differenzenquotient (Sekantensteigung) m=(y2-y1)/(x2*x1) mit x2>x1
Die Sekante ist eine Gerade,dei durch 2 Punkte geht P1(x1/y1) und P2(x2/y2)
Geht nun das Intervall x2-1 gegen NULL,so erhält man den
"Differentialquotient" dy/dx=y´=f´(x)=m ist die 1,te Ableitung der Funktion f(x)=... nach der unabhängigen Variablen x.
Beispiel: y=f(x)=0,5 *x² abgeleitet f´(x)=0,5*2*x=1*x=x
Steigung an der Stelle x=2 → f´(2)=m=2 das ist dann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 an der Funktion f(x)=0,5*x²
Die Tangente ist eine Gerade der Form yt=ft(x)=m*x+b
tangieren=berühren
wählen wir nun x2-x1=0,01 also klein,dann ist dy/dx=m≈(y2-y1)/(x2-x1)
x1=2 → f(2)=y1=0,5*2²=0,5*4=2
x2=2,01 → f(2,01)=y2=0,5*2,01²=2,0402
eingesetzt m=(2,0402-2)/(0,01)=2,005 also 2≈2,005
Die Tangenten an den Extrema Maximum/Minimum haben die Steigung
f´(x)=m=0
Auch die Tangente im Sattelpunkt (nennt man auch Terrassenpunkt oder Stufenpunkt) hat dort die Steigung f´(x)=m=0
Allerdings ist der Sattelpunkt ein besonderer Wendepunkt
Ein Wendepunkt teilt 2 Kurvenbögen voneinander "konvex" und "konkav"
siehe Mathe-Formelbuch,Differentialgeometrie,Krümmung
Krümmung k:
k=y´´/(1+(y´)²)^(3/2)
k<0 konvex (Rechtskrümmung,von oben betrachtet)
k>0 konvex (Linkskrümmung,von oben betrachtet)
Hinweis:Am Wendepunkt oder Terrassenpunkt findet ein "Vorzeichenwechsel" von y´´=f´´(xw) statt (vor und nach dem Wendepunkt) !!
Ein Terassenpunkt oder auch Sattelpunkt genannt, ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
Cool, du studierst Mathe?