Wie kann ich erkennen ob ich eine Gleichung umstellen muss?
Zum Beispiel bei dem Additionsverfahren. Wie erkenne ich ob ich zuerst umformen soll/oder nicht?
Danke
4 Antworten
Guten Abend.
Beim Additionsverfahren soll ja mindestens eine Variable ausgeglichen werden. Das bedeutet, dass in einer der Gleichungen die Gegenzahl zur anderen Gleichung stehen soll, damit dies sinnvoll ist.
Beispiel:
2x + 2y = 8
3x + 1y = 8
Wenn du jetzt einfach addieren würdest, bekämst du:
5x + 3y = 16
Hilft dir das irgendwie x oder y aufzulösen? Nein! Also musst du erst umformen. Nach welcher Variable du umformst und welche Gleichung du dafür heranziehst, ist völlig egal, alle führen zum Ziel:
I * -(0,5)
................
2x + 2y = 8 | * (-0,5)
-x - y = -4
Wenn du jetzt I und II zusammenaddierst bekommst du:
(-x + 3x) + (-y + y) = (-4 + 8)
2x = 4 | : 2
x = 2
Wie du siehst habe ich die erste Gleichung so umgeformt, dass ich -y mit +y addiere, so dass daraus 0y werden. Denn 0 mal irgendwas ergibt immer 0, ich kann den Teil dann also einfach weglassen.
Andere Variante:
I * (-1,5)
................
2x + 2y = 8 | * (-1,5)
-3x - 3y = -12
Was passiert wenn wir I und II jetzt zusammenaddieren?
(-3x + 3x) + (-3y + y) = (-12 + 8)
-2y = -4 | : (-2)
y = 2
Wir haben bei dem Beispiel also das x neutralisiert, indem wir die Gleichungen so modifiziert haben, dass beim Addieren 0x entstanden sind, die man dann einfach weglassen kann.
Natürlich könntest du auch die zweite Gleichung anpassen:
II * (-2/3)
................
3x + y = 8 | * (-2/3)
-2x - 2y/3 = -16/3
Jetzt beide addieren:
(2x + (-2x)) + (2y + (-2y/3)) = (8 + (-16/3))
4y/3 = 8/3 | : (4/3)
y = 24/12
y = 2
Führt zum gleichen Ergebnis, hierbei aber nicht so schön, weil man eben mit Brüchen rechnen muss.
War das verständlich erklärt? 💡👌
In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Typen von Gleichungen. Zu welchem Typ eine Gleichung gehört, hängt vor allem davon ab, an welcher Stelle und in welcher Weise die unbekannten Variablen in den Termen vorkommen.
Lineare Gleichungen
In einer linearen Gleichungen kommen die unbekannten Variablen nur in der ersten Potenz vor. Die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit einer unbekannten Variable \(x\) sieht also so aus:
\(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen
Entsprechend dürfen die unbekannten Variable in einer quadratischen Gleichung in der zweiten und auch in der ersten Potenz vorkommen:
\(ax^2 + bx + c= 0\)
Potenzgleichungen
Wie bei den linearen und quadratischen Gleichungen kommt die unbekannte Variable in Potenzgleichungen als Basis einer Potenz vor. Der Unterschied besteht darin, dass bei den Potenzgleichungen auch größere Exponenten als Eins und Zwei erlaubt sind. Die typische Form einer Potenzgleichung sieht so aus:
\(x^n = a\)
Die positive Hochzahl \(n\) kann dabei eine beliebige Zahl sein.
Exponentialgleichungen
Die Exponentialgleichung hat dagegen eine deutlich andere Form. Denn bei diesem Gleichungstyp steht die unbekannte Variable im Exponent einer Potenz:
\(a^x = b\)
Wie du erkennen kannst, ist hier die Variable \(x\) die Hochzahl und nicht, wie bei einer Potenzgleichung, die Basis der Potenz.
Bruchgleichungen
Auch die Bruchgleichungen werden durch eine besondere Position der Gleichungsvariablen gekennzeichnet. Denn hier steht die unbekannte Variable im Nenner eines Bruches, wie bei diesem Beispiel:
\(\frac{12}{5\,+\,2x} = 2\)
Eine Gleichung umstellen bedeutet, die Variablen und Konstanten auf beiden Seiten der Gleichung so zu arrangieren, dass die gesuchte Variable auf einer Seite der Gleichung und alle anderen Variablen und Konstanten auf der anderen Seite stehen. Dies wird oft gemacht, um die Gleichung zu vereinfachen und die gesuchte Variable zu isolieren.
Ob du eine Gleichung umstellen musst, hängt von der Art der Gleichung und der gesuchten Variable ab. Im Allgemeinen ist es ratsam, die Gleichung zunächst in der gegebenen Form zu lösen und dann zu überprüfen, ob sie isoliert ist oder ob du sie noch umstellen musst, um die gesuchte Variable zu isolieren.
Im Falle des Additionsverfahrens kannst du die Gleichung in der gegebenen Form lösen, indem du die konstanten Werte auf beiden Seiten der Gleichung addierst und die Variablen auf beiden Seiten subtrahierst. Wenn die gesuchte Variable auf einer Seite der Gleichung steht und alle anderen Variablen und Konstanten auf der anderen Seite stehen, ist die Gleichung isoliert und du kannst fortfahren, um sie zu lösen. Wenn die gesuchte Variable jedoch nicht isoliert ist, musst du die Gleichung umstellen, um sie zu isolieren, bevor du fortfahren kannst.
Ich hoffe, das hat geholfen und du hast eine bessere Vorstellung davon, ob du eine Gleichung umstellen musst oder nicht. Wenn du weitere Fragen hast, zögere nicht, mich erneut zu kontaktieren.
Die Gleichung muss immer umgestellt werden. Solange alle x auf einer Seite und eine Zahl auf der anderen Seite sind. Danach musst du dividieren oder multiplizieren.