Frage von lateinchiller, 21

Wie kann ich einen Hochpunkt in einem bestimmten Bereich einer Funktion bestimmen?

4x^3 - 84x^2 + 441x. Von dieser Funktion möchte ich jetzt einen Hochpunkt wissen, bzw. den höchsten Punkt, der zwischen 0 und 21 liegt. Wie kann ich das bestimmen ? Gerne auch Tipps, wie das mit dem Casio FX 991 DE Plus geht. Danke !!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 5

Bevor du das in den Casio einhackst, rechnest du es besser zu Fuß.
1. Hilfe:
die Ableitung von  f(x) = 4x^3 - 84x^2 + 441x
                      ist f '(x)  = 12x² -  168x + 441

Erst das muss durch 12 geteilt werden, und mit der p,q-Formel behandelt werden:                            x² - 14x + 36,75 = 0   

Das ergibt erstaunlich glatte x-Werte für die Extrema: x1 = 3,5      x2=10,5

In diesem Fall ist es nicht nötig, eine Extremwertuntersuchung zu machen.
Beide Werte liegen im Intervall [0;21]. Wir müssen nur noch alle 4 Werte in die Originalfunktion f(x) einsetzen, denn die Ränder können ja evtl. höher liegen als die Extremwerte.

f(0)      = 0
f(3,5)   = 686
f(10,5) = 0
f(21)    = 9261

Ersichtlich ist die Funktion bei x=21 am höchsten, also am rechten Rand.

Kommentar von lateinchiller ,

Das habe ich alles so weit verstanden. Jetzt allgemein: Aber wie kann man das mit dem Bereich 0;21 einbauen ? Was wäre denn jetzt wenn die Funktion bei x = -100 und x = +100 ihre Extrenwerte hätte. Dann hätte ich ja für die Extremwerte zwischen 0-21 gar keine Antwort bekommen... ?

Kommentar von Volens ,

Wenn das Intervall [-100;100] gewesen wäre, hättest du eben für diese beiden x-Werte die y-Werte ausrechnen müssen. Über die Ableitung kommst du nur an die globalen Extremwerte heran. Und die sind entweder höher bzw. tiefer als die Randwerte oder nicht.
Die Stellen 0 und 21 hätten dann keinen interessiert.

Nach 21 kann die Funktion ja auch wieder fallen. Alles ist möglich, aber für 0 und 21 braucht nichts gerechnet zu werden. Es ist einfach irrelevant.

Kommentar von Volens ,

Vielleicht noch ein Wort zur Ableitung. Das ist die Bildung der Funktion f '(x). Formal wirst du es sicher können:
Wenn du xⁿ hast, ist die Ableitung n * xⁿ⁻¹ .
Für 4x³ also z.B. 12x²  (4 * 3x²) .
Die Terme kannst du einzeln ableiten.

Wenn man die Ableitung gleich 0 setzt, bekommt man die Positionen der waagrechten Tangenten, und das sind dann die Extremstellen.
Für die Ränder eines Intervalls trifft das natürlich nicht zu. Deshalb muss man sie direkt mit der Originalfunktion prüfen.

Kommentar von lateinchiller ,

Die Ableitung verstehe ich mittlerweile gut. Aber das andere noch nicht. Also sagen wir bei x1 wäre win Extrema mit f(x) = 1800 und bei x2 wäre ein Extrema mit f(x) = 3000. Wenn ich dann anhand der Funktionsgleichung ausrechnen würde, wo die Funktion bei x3 = 0 und x4 = 21 ist, würdr das doch auch nichts aussagen, denn der höchste Punkt im Intervall [0;21] könnte doch zB auch bei 8 sein. PS: Das alles ist auf keine Funktionsgleichung bezogen sonder nur beispielhaft. Vielen Dank schonmal.

Kommentar von Volens ,

Da habe ich jetzt deinen Gedankengang nicht nachvollziehen können. Klar ist aber, bei gewöhnlichen Extrema (das ist der Plural; der Singular heißt: Extremum) finde ich sie durch die Ableitung. Ich muss dann trotzdem noch das f(x) ausrechnen.
Bei Intervallgrenzen finde ich sie (wenn es sie gibt) nur beim Einsetzen in f(x).
Mehr gibt es nicht.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 13

1. Ableitung gleich 0 setzen und mit pq-Formel lösen.

Kommentar von lateinchiller ,

Was bedeutet "Ableitung". Ich hab leider auf dem Thema Polynomfunktionen noch nicht so viel Erfahrung.

Kommentar von lateinchiller ,

Ach... meinen Sie damit: geteilt durch 4x und dann die pq ?

Kommentar von Ellejolka ,

nein, hier kannst du durch 4x nicht teilen;

googel mal "Ableitung" oder "Extremwerte"

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