Wie kann ich als 16 Jähriger die Analysis besser verstehen?
Ich habe bisher schon verstanden was die Analysis ist und warum dies exsistiert, aber bei mir macht es kein Klick, warum die Steigung dy/dx bzw. die Höhe durch die Weite ist. Wie darf ich mir das vorstellen? Höhe und Weite, Hoch und nach Rechts bzw. Links also wenn ich ein 2 x 2 Fläche bzw. Quader habe dann ist die Hoch sowie auch die Weite jeweils 2 und dass dann dividieren, also 2/2 = 1, aber die Steigung 1 macht für mich kein Sinn.
7 Antworten
Hi,
Die Steigung gibt das im Prinzip das Verhältnis Höhe durch Weite an.
Für dein Beispiel mit Steigung 1 bedeutet das, wenn du EIN Kästchen nach rechts gehst du auch EIN ein Kästchen nach oben.
Steigung 2 bedeutet das, wenn du EIN Kästchen nach rechts gehst ZWEI du ein Kästchen nach oben
Steigung 1/2 bedeutet das, wenn du EIN Kästchen nach rechts gehst 0.5 Kästchen nach oben
Usw.
Die Steigung gibt an, wie sehr sich der y-Wert entlang der x-Achse verändert.
Wie man sie berechnet, weißt du ja. Vorstellen kannst du dir das so:
Hast du zwei Größen gegeben, die voneinander abhängen, z.B. die Strecke in Meter und die Zeit in Sekunden.
Nun haben wir eine Funktion gegeben, die zu jedem Zeitpunkt die zurückgelegte Strecke angibt. Nehmen wir zunächst an, dass die Funktion linear ist, also eine Gerade als Graphen besitzt.
Wie ist die Steigung der Geraden?
Naja, du weißt, dass die zurückgelegte Strecke abhängig von der Zeit ist. In jeder Zeiteinheit legen wir eine bestimme Strecke zurück.
Im physikalischem Sinne entspricht das der Geschwindigkeit, Streckte / Zeit [m/s].
Das ist eine Änderungsrate. Dieser Quotient ist aber auch tatsächlich unsere Steigung der Geraden, warum?
Unsere Funktion ist linear, also der Form y = m x + n. n ignorieren wir erst einmal und setzen n = 0. Unsere Funktion hat also die Form y = m x.
Um m zu erhalten müssen wir nun auf beiden Seiten mit x dividieren, woraus folgt, dass
m = y / x.
Auf der y-Achse ist ja unsere zurückgelegte Strecke, auf der x-Achse die Zeit.
m hat also die Einheit m/s. Wählen wir nun x = 1, so erhalten wir die zurückgelegte Strecke inerhalb einer Sekunde. Das ist gerade unsere Geschwindigkeit.
Die Steigung gibt also die Änderung des y-Wertes pro x-Wert an.
Es ist aber egal, ob man x = 1 oder x = 2 oder sonst ein x wählt, da alle Steigungsdreiecke ähnlich zueinander sind und damit der Quotient immer gleicht bleibt (ändert sich x, ändert sich auch y, außer bei konstanten Funktionen).
Welche Steigung ERGIBT ( "macht" ist stillos ) denn Sinn für dich ?
Eine Steigung (m) von 1 entspricht einem Winkel von 45 Grad . Man drückt sie nicht als Gradzahl aus sondern mathematisch als Verhältnis der Differenzen der Koordinaten : : : : : delta y / delta x
Schau dir hier m = -1 an
drei nach rechts , drei nach unten
Es ist einfach so definiert, dass man sich den Graphen einer Funktion als von links nach rechts verlaufend vorstellt.
Es ist wie mit einer Fahrrad-Etappe auf der Tour de France. Links ist der Start und rechts das Ziel. Je steiler die Kurve ansteigt, umso größer ist auch die "Steigung", die man als Zahl ausdrückt, indem man die mathematische Ableitung an dem Punkt der Funktion bildet.
Wenn es zwischen zwei Punkten gleich weit nach rechts wie nach oben geht, dann nennt man den Betrag der Steigung "1". Ist die Kurve flacher, dann ist die Steigung < 1. Ist die Kurve steiler, dann ist die Steigung > 1.
Ich wüsste nicht, wie man noch mehr Sinnhaftigkeit in diese Konvention hineinlegen könnte. Aber es lässt sich doch gut und einfacher rechnen, als wenn man noch zusätzliche Faktoren hätte.
Bei einem Graphen ist es so wie bei einer Straße, wo man angeben kann wie steil diese steigt oder fällt.
Neben der graphischen Bedeutung ist die Steigung einfach nur ein Faktor, der angibt, wie sich die Änderung einer Größe auf die Änderung einer anderen Größe auswirkt, z.B. der Gesamtpreis ist die Anzahl mal der Stückpreis. Wenn du die Anzahl als Veränderliche betrachtest, ist der Stückpreis die Steigung, die angibt, um wie viele Einheiten der Gesamtpreis steigt, wenn man die Anzahl um eine Einheit vergrößert. Die Steigung gibt also an, um wie viel eine Zielgröße steigt, wenn die Variable um eine Einheit steigt.
Ein Quadrat hat keine Steigung, sondern erstmal nur lineare Funktionen der Form f(x) = ax + b, wo a dann die Steigung ist. Bei anderen Funktionen kann man die Steigung einer Tangente an einem Punkt betrachten.